13. O Software Geogebra como Recurso no Processo de Ensino e Aprendizagem do Teorema de Pitágoras: um estudo exploratório das produções brasileiras de 2001 a 2018

Resumo: Este texto apresenta um mapeamento realizado em torno das produções acadêmicas e/ou científicas relacionadas ao uso do software Geogebra enquanto recurso didático no ensino e aprendizagem do Teorema de Pitágoras, bem como as principais contribuições destas produções para o ensino de geometria plana e, também, para as pesquisas na área da educação matemática. Para tanto, o texto está assentado no levantamento bibliográfico das publicações brasileiras, do período de 2001 a 2018, que são expressas em teses de doutorado, dissertações de mestrado, trabalhos de conclusão de curso de pós-graduação (especialização) e graduação, publicações em periódicos e comunicações em anais de congressos e seminários. A análise dos trabalhos encontrados trouxe à baila uma coletânea de produções selecionadas e analisadas cujas reflexões servem de orientação para professores de Matemática da Educação Básica e pesquisadores interessados no assunto, particularmente no tocante ao uso do software Geogebra enquanto recurso didático para o ensino e aprendizagem do Teorema de Pitágoras e, também, da matemática. Além disso, ele serve como base de dados para novas pesquisas e estudos envolvendo o Geogebra e suas relações com o ensino de geometria plana e com a aprendizagem matemática.

Palavras-chave: Software Geogebra. Teorema de Pitágoras. Ensino de Geometria.

Introdução

Este texto resulta de uma pesquisa realizada no ano de 2019, vinculada ao Trabalho de Conclusão do Curso de Especialização em Educação Matemática (IME/UFG), e aborda a relação da Educação Matemática e as Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDIC), particularmente no tocante à utilização do software Educacional (Geogebra) para o ensino de geometria (Teorema de Pitágoras).

A partir das inquietações e angústias a respeito do processo de ensino e aprendizagem de geometria no ensino básico, bem como das reflexões advindas da trajetória docente e da convivência com outros professores de Matemática e seus relatos em relação ao ensino do conteúdo matemático “Teorema de Pitágoras”, percebemos que a maioria desses professores ensina a expressão matemática que representa o teorema, mostrando alguns exemplos de sua estruturação e, em seguida, explora as atividades previstas nos livros didáticos. Normalmente, eles têm como referência apenas um ensino restrito, pouco contextualizado e com caráter fortemente livresco, pautado na repetição e na memorização da sua representação algébrica, carente de reflexão acerca do conteúdo estudado, tanto no ensino fundamental e médio, quanto na graduação. Assim, como destacam as autoras Trierweiler e Wanderer (2015), o Teorema de Pitágoras:

é um dos mais importantes teoremas de geometria plana. É ensinado no nono ano do ensino fundamental. Para ensinar este conteúdo, muitos professores “passam” somente a fórmula, sem explicar o porquê. E com isso, os alunos também não compreendem plenamente o significado e suas aplicações. (TRIERWEILER; WANDERER, 2015, p. 08).

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), conceitos e procedimentos visando o ensino do Teorema de Pitágoras podem ser tratados em:

Números e Operações

- Constatação que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à Geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, √2, √3 etc.). [...]

- Análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações, envolvendo números naturais, inteiros, racionais e irracionais aproximados por racionais. [...]

- Resolução de situações-problema que podem ser resolvidas por uma equação do segundo grau cujas raízes sejam obtidas pela fatoração, discutindo o significado dessas raízes em confronto com a situação proposta. [...]

Espaço e Forma [...]

- Verificações experimentais, aplicações e demonstração do teorema de Pitágoras.

Grandezas e Medidas [...]

- Estabelecimento da relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado (...). (BRASIL, 1998, p. 87 – 90).

Com relação ao Teorema de Pitágoras, podemos dizer que o seu estudo está inserido no tema "Espaço e Forma". No entanto, é impossível não o associar, também, com os temas “Números e Operações” e “Grandezas e Medidas”. Assim, conforme Brasil (1998), esse conteúdo matemático começa a ser abordado no ciclo IV do Ensino Fundamental, ou seja, a partir da 7ª série (atual 8º ano) e 8ª série (atual 9º ano).

Dentre os objetivos do estudo de Matemática, nesse ciclo, no que tange à competência do desenvolvimento do pensamento geométrico, tem-se o objetivo de analisar as figuras pelas observações, os manuseios e as construções de forma que permitam fazer conjecturas e identificar propriedades, bem como propiciar um campo fértil para a exploração dos raciocínios dedutivos e para a construção de argumentação, fundamentais para a compreensão das demonstrações (BRASIL, 1998).

Ainda a respeito da competência do desenvolvimento do pensamento geométrico, van Hiele apresenta um modelo que serve como guia para aprendizagem e para a avaliação das habilidades dos estudantes em geometria. Esse modelo consiste em cinco níveis de compreensão, chamados: visualização, análise, dedução informal, dedução formal e rigor, que descrevem as características do processo do pensamento geométrico, conforme a Tabela 1.

A partir desses cinco níveis de compreensão, a proposição de van Hiele sinaliza a preocupação com cada fase do aprendizado do estudante quanto aos conceitos geométricos e suas fases de formulação e aprofundamento.

Por meio da pesquisa realizada, também foi possível vislumbrar que parte das dificuldades dos estudantes na compreensão de conteúdos de geometria pode ser amenizada com a exploração de estratégias e metodologias de ensino menos tradicionais; por exemplo, a partir da inserção de tecnologia e outros recursos que agreguem novas linguagens e significados aos conceitos matemáticos tratados. Segundo Castagna e Lazo (2012), o uso de novas ferramentas tecnológicas, como tendência metodológica em Educação Matemática, consiste em uma alternativa para se ensinar geometria e se apresenta como um recurso didático diferenciado que pode atender ao processo de aprendizagem, desde que sintonizado com os objetivos de ensino do professor.

Dentre as ferramentas tecnológicas passíveis de serem utilizadas no ensino de geometria e selecionadas na pesquisa, estão os softwares Educacionais, como, por exemplo, o software Geogebra que, segundo Silva (2014), consiste em um software desenvolvido no sentido de auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos. Esse software pode ser utilizado em sala de aula de forma dinâmica e interativa, auxiliando na construção do pensamento, provocando reflexões e possibilitando conclusões mais bem elaboradas durante a execução das atividades de modo menos abstrato.

Diante disso e dos avanços tecnológicos, que estão em constante processo de transformação e ressignificação, a quantidade de informações e inovações apresentadas à sociedade diuturnamente resulta, também, em implicações e desafios que colocam a escola e os processos de ensino e aprendizagem à prova a cada instante. O que tem destacado relevo no contexto de demanda permanente de avaliação e revisão de concepções educativas cristalizadas e pouco dinâmicas que, há tempos, não sintonizam adequadamente com os atuais cenários e com os perfis dos sujeitos aprendentes. Se a sociedade muda, mudam também os seus sujeitos, suas demandas e seus modos de ver e apreender o mundo e os conhecimentos a sua volta.

Desse modo, a escola encontra-se, há algum tempo, frente ao desafio de reconstruir suas estratégias, articular suas dinâmicas a novos meios de comunicar e construir conhecimentos de maneira sólida e estimulante, criando condições para que os estudantes se tornem protagonistas de seu processo de aprendizagem, de forma criativa e crítica, de modo a promover o seu desenvolvimento pessoal e profissional. Nesse panorama, novas demandas são lançadas aos professores que precisam, também, se atualizar, revisitar e reinventar suas práticas didático-metodológicas, sintonizando com caminhos, recursos e linguagens que os aproxime dos estudantes e de suas formas de ler e comunicar o mundo a sua volta e também a matemática.

Para isso, eles necessitam de metodologias inovadoras e ativas, recursos e materiais manipuláveis diversos, softwares, recursos tecnológicos, jogos digitais etc., que funcionam como alternativas de enfrentamento dessa nova realidade. Com efeito, embora o arsenal de possibilidades seja amplo, tal demanda não se apresenta como um desafio fácil, embora a busca por novas metodologias para o ensino da Matemática esteja entre as preocupações de boa parte dos professores.

Tendo como norte as questões postas até aqui, um estudo exploratório foi realizado a fim de que fossem mapeados dados bibliográficos relacionados ao uso do Software Geogebra no processo de ensino-aprendizagem do Teorema de Pitágoras. Foi dado destaque ao que vem sendo privilegiado em diferentes espaços e níveis educacionais, bem como às estratégias mais frequentemente apontadas e defendidas por meio de trabalhos acadêmicos e/ou científicos que abordam esse assunto. Assim, a pesquisa constituiu-se em torno da seguinte pergunta norteadora: Quais as principais contribuições apresentadas pelos trabalhos e/ou pesquisas recentes que tratam do uso das TDIC e o ensino de geometria, em especial o uso do software Geogebra no processo de ensino-aprendizagem do Teorema de Pitágoras?

Dentre os seus objetivos, a pesquisa buscou organizar dados e análises que despertem o interesse do professor para o uso de novas estratégias de ensino. Em especial, foi dado destaque àquelas pautadas por recursos como o Geogebra, proporcionando reflexões sobre as práticas de ensino usualmente exploradas no ensino de Geometria, bem como oportunizando elementos capazes de incentivar a implementação de outras práticas docentes no âmbito da área da Educação Matemática.

A análise dos trabalhos, encontrados pela pesquisa, trouxe à tona uma coletânea de produções selecionadas e analisadas, cujas reflexões podem servir de orientação para professores de Matemática da Educação Básica, bem como para pesquisadores interessados no assunto; particularmente no tocante à multiplicidade de caminhos para o uso do software Geogebra enquanto recurso didático para o ensino e aprendizagem do Teorema de Pitágoras. Além disso, o levantamento realizado, assim como as análises apresentadas, pode servir como base de dados para novas pesquisas e estudos mais aprofundados envolvendo o Geogebra e suas relações com o ensino de geometria plana e com a aprendizagem da matemática.

Metodologia

A metodologia empregada na pesquisa consistiu no estudo Exploratório de caráter bibliográfico que, por meio do mapeamento de pesquisas e produções acadêmicas e/ou científicas, expressas em teses de doutorado, dissertações de mestrado, trabalhos de conclusão de curso de pós-graduação (especialização) e graduação, publicações em periódicos e comunicações em anais de congressos e de seminários, objetivou identificar as discussões realizadas no Brasil, no período de 2001 à 2018, em torno da inserção e uso do software Geogebra nas aulas de matemática, em especial no ensino de geometria. Segundo Severino (2007), a pesquisa bibliográfica é aquela realizada a partir do:

[...] registro disponível, decorrente de pesquisas anteriores, em documentos impressos, como livros, artigos, teses etc. Utilizam-se dados de categorias teóricas já trabalhadas por outros pesquisadores e devidamente registrados. Os textos tornam-se fontes dos temas a serem pesquisados. O pesquisador trabalha a partir de contribuições dos autores dos estudos analíticos constantes dos textos. (SEVERINO, 2007, p.122).

A pesquisa bibliográfica, utilizada neste estudo, reflete um estado da arte. Segundo Ferreira (2002), pesquisas, conhecidas pela denominação de “estado da arte” ou “estado do conhecimento”, são:

Definidas como de caráter bibliográfico, elas parecem trazer em comum o desafio de mapear e de discutir uma certa produção acadêmica em diferentes campos do conhecimento, tentando responder que aspectos e dimensões vêm sendo destacados e privilegiados em diferentes épocas e lugares, de que formas e em que condições têm sido produzidas certas dissertações de mestrado, teses de doutorado, publicações em periódicos e comunicações em anais de congressos e de seminários. Também são reconhecidas por realizarem uma metodologia de caráter inventariante e descritivo da produção acadêmica e científica sobre o tema que busca investigar, à luz de categorias e facetas que se caracterizam enquanto tais em cada trabalho e no conjunto deles, sob os quais o fenômeno passa a ser analisado. (FERREIRA, 2002, p.258).

O escopo da investigação se deu a partir de coleta dados acerca de produções bibliográficas buscadas em bases de dados, sites e repositórios selecionados e de renomado reconhecimento por disporem de resultados de pesquisas acadêmicas e/ou científicas de teses, dissertações, monografias ou Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC), artigos, resumos de congressos, entre outros, utilizando os seguintes descritores: Teorema de Pitágoras e Geogebra; Geometria Plana e Geogebra; Teorema de Pitágoras e Tecnologia. Dentre os sites selecionados, tem-se: https://sholar.google.com.br; www.periodicos.capes.gov.br e o bdtd.ibict.br, ambos de acesso livre a qualquer custo, conforme a Tabela 2.

Foram consultados trabalhos publicados em periódicos e em eventos nacionais da área da Educação Matemática, no período compreendido entre os anos 2001 e 2018. Esse período, de dezessete anos, foi estabelecido por compreender o ano de criação do software Geogebra, 2001, até o ano 2018, no qual foram realizados os estudos da pesquisa.

A partir da busca realizada por meio dos descritores mencionados anteriormente, foram obtidos um total de 6.529 (seis mil quinhentos e vinte nove) trabalhos. Para a caracterização dos trabalhos, foi considerado como primeiro critério de seleção os seus títulos, sendo selecionados aqueles trabalhos que apresentavam no título palavras e/ou sentidos relacionados ao assunto e à temática pesquisada. Logo após o refinamento das buscas, foram selecionados 102 (Cento e dois) trabalhos.

Foram analisados, por meio da leitura dos títulos, capas e resumos, os 102 (Cento e dois) trabalhos selecionados que envolviam a temática investigada e, simultaneamente, os demais critérios considerados na busca, a saber: trabalhos produzidos no Brasil; publicados nos últimos dezessete anos (no período de 2001-2018); possuir algum dos descritores no título do trabalho; estar relacionado à relação entre TDIC e da Educação Matemática, simultaneamente; possuir o texto completo em formato PDF; estar publicado em Português e, principalmente, apresentar no corpo do texto relações com a utilização do software Geogebra no processo de ensino-aprendizagem do Teorema de Pitágoras.

Ao final, atendendo a todos os critérios citados, de maneira simultânea, foram eleitos 26 (vinte e seis) trabalhos potencialmente adequados para compor as análises da pesquisa. A consulta, leitura e análise desses trabalhos forneceu elementos que cooperaram para justificar a importância da investigação, além de permitir situar a pesquisa no contexto acadêmico e contribuir para a análise dos resultados e estruturação de pesquisas futuras.

Resultados e discussões

A partir do estudo exploratório dos trabalhos elencados após a seleção final, foi possível, de imediato, observar que as pesquisas brasileiras em torno do uso do software Geogebra, no processo de ensino-aprendizagem de geometria, encontram-se em fase embrionária, quando não são incipientes, principalmente em Regiões como a Norte e a Centro-oeste do Brasil. As análises também evidenciaram uma centralidade das publicações, trabalhos de pesquisa e outros estudos nas Regiões Sudeste e Sul do país que, por sua vez, e não coincidentemente, são as regiões que possuem um maior número de Institutos Geogebra, conforme Figura 1.

Este cenário demarca a importância e a emergência de que trabalhos envolvendo o software Geogebra, suas funcionalidades e potencialidades, sejam fomentados nas regiões do país até então pouco representativas em número de estudos envolvidos em torno dessa temática.

Ao analisar o período de 2001 até 2018, foi possível identificar os momentos em que tais publicações foram mais intensas e em maior número, de tal modo que a maioria dos trabalhos publicados, ao longo dos 17 anos observados, é, relativamente, recente e está concentrada nos anos de 2013, 2014 e 2015. Com um índice maior de produções identificadas no ano de 2015, merece atenção, ainda, o fato de que, dentre os 10 (dez) trabalhos publicados no referido ano, 9 (nove) estão vinculados à Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

A região Sul do Brasil, além de ser uma região de grande concentração de polos do Instituto do Geogebra, também se destaca pelo número significativo de eventos científicos que realiza (Encontro Gaúcho de Educação Matemática - EGEM, Simpósios de Formação do Professor de Matemática da Região Sul, Encontro Paranaense de Educação Matemática, etc.). Tais eventos se tornam espaço profícuo para a reflexão e a socialização de trabalhos que permeiam a temática do uso do software Geogebra no processo de ensino-aprendizagem de conteúdos matemáticos.

Diante disso, parece plausível inferir que o elevado número de eventos e de produção de trabalhos relacionados à inserção das TDIC, de softwares como o Geogebra e de outros recursos no processo de ensino-aprendizado, pode estar ligado à preocupação e ao envolvimento dos profissionais da área da Educação Matemática da região Sul do país. Os pesquisadores e professores demonstram estar empenhados em revisar e reinventar suas práticas, estratégias e metodologias de ensino. O panorama construído acerca da presença significativa de produções em torno das temáticas supracitadas parece, ainda, apontar para uma maior sintonia ou, ao menos, flexibilidade ante as novas linguagens e modos de construir e atribuir significados aos conhecimentos matemáticos escolares e seus desdobramentos.

Quanto aos tipos de trabalho, cabe salientar que, dos 26 (vinte e seis) trabalhos analisados, 18 (dezoito) eram artigos, 1 (um) Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) em nível de graduação, 2 (dois) TCC de especialização, 5 (cinco) dissertações de mestrado profissional e nenhuma tese de doutorado. Ao avaliar o percentual de representatividade desses dados, é possível verificar que, conforme aponta a Figura 2, 69% das produções encontradas, majoritariamente, eram artigos. Dentre as outras categorias, os percentuais são de 19% dissertações de mestrado profissional, 8% de monografias de especialização e 4% referem-se a Trabalho de Conclusão de Curso, em nível de graduação.

A ausência de trabalhos vinculados a estudos de doutoramento e o fato de que grande parte das publicações encontradas decorre de artigos e de trabalhos vinculados a mestrados profissionais pode insinuar, por exemplo, a existência de lacunas, seja na continuidade de trabalhos iniciados em níveis de graduação e mestrado ou, ainda, na falta de interesse no desenvolvimento de trabalhos e pesquisas mais robustas e mais aprofundadas em torno dessa temática; por exemplo, no âmbito de pesquisas de doutorado.

A classificação e a organização dos 26 (vinte e seis) trabalhos, que compuseram a amostra da pesquisa, se deram a partir das três (3) categorias descritas a seguir, emergidas a partir da leitura dos textos e do perfil de abordagem das temáticas apresentadas em cada um deles.

• Proposta de ensino – Trabalhos voltados para a sugestão e apresentação de sequências didáticas e/ou sugestões de atividades a serem aplicadas aos estudantes do ensino fundamental e/ou médio utilizando o software Geogebra como recurso didático para explorar e estudar o Teorema de Pitágoras (Centradas não só no professor, mas em atividades que oportunizam protagonismo maior dos estudantes, como, por exemplo, atividades em laboratório de informática).
• Prática de ensino – Trabalhos que apresentam e analisam experiências vivenciadas ou processos de ensino pautados na aplicação de atividades a serem realizadas com estudantes do ensino fundamental e/ou médio utilizando o software Geogebra como recurso didático para explorar e demonstrar o Teorema de Pitágoras (Centrados na prática do professor).
• Formação docente – Trabalhos que apresentam o processo de formação (graduação, pós-graduação, etc.) permanente no qual os professores estão inseridos (Possibilitam refletir sobre os saberes construídos ao longo das trajetórias de ensino). 

À luz destas categorias, a pesquisa estruturou os 26 (vinte e seis) trabalhos selecionados conforme descritos e sintetizados no Quadro 1 que segue.

Conforme explicita o quadro anterior, majoritariamente, 14 (quatorze) trabalhos se enquadraram na categoria prática de ensino, estando os demais distribuídos da seguinte forma: 6 (seis) trabalhos se caracterizam como proposta de ensino e outros 6 (seis) na categoria formação docente.

Os trabalhos analisados na pesquisa que deu origem ao presente texto, suas reflexões, análises e seus resultados apontam, de forma unânime, que o uso do software Geogebra contribui significativamente e potencialmente para a aprendizagem dos estudantes, em especial no tocante aos conteúdos de geometria e, particularmente, do Teorema de Pitágoras e seus desdobramentos. Além disso, o software é capaz de tornar o ensino mais dinâmico, já que o estudante pode experimentar, interpretar, visualizar, construir generalizações e fazer demonstrações. Por meio da utilização do software Geogebra, o educando encontra cenários profícuos para desempenhar o papel mais ativo no seu processo de aprendizagem.

Além disso, a pesquisa e as reflexões obtidas por meio dela, delineadas neste texto, trazem no seu bojo contribuições relevantes aos professores de Matemática da Educação Básica e a pesquisadores da área da Educação Matemática. Isso porque a coletânea de produções selecionadas e analisadas serve de orientação e, também, de inspiração para despertar professores e outros estudiosos para um assunto tão relevante e que, notoriamente, ainda apresenta tratamento desigual nas diferentes regiões do país.

Considerações finais

As TDIC têm provocando mudanças na sociedade atual e seu uso vem crescendo a cada dia. A população, em especial os jovens, está cada vez mais conectada por meio de tecnologias e redes sociais, como Facebook, Instagram, Whatsapp etc., e, nesse sentido, é fundamental uma análise crítica e propositiva acerca do uso e da inserção de tecnologias nos processos educativos.

O Governo Federal, por meio do Ministério da Educação, também aponta o uso de tecnologia na Base Nacional Comum Curricular (BNCC), bem como nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Porém, diante do que esses documentos apresentam e das circunstâncias das políticas públicas na educação, é preciso refletir sobre a possibilidade de readequação do currículo escolar, bem como de investimentos na formação continuada de professores. Isso serviria para que estes saibam escolher, avaliar e explorar o potencial das tecnologias enquanto ferramentas potencializadoras das dinâmicas do aprender e ensinar a Matemática, especialmente no campo da geometria.

O estudo exploratório realizado sinaliza que as pesquisas sobre o uso do software Geogebra no processo de ensino-aprendizagem de geometria estão ainda engatinhando, principalmente em regiões como o Norte e o Centro-oeste do Brasil, pois a maioria dos trabalhos analisados foi publicada nas Regiões Sudeste e Sul do país.

Destarte, os dados, sucintamente apresentados nesse texto, podem proporcionar uma atualização a partir das informações, experiências, conhecimentos e reflexões registrados em trabalhos acadêmicos e/ou científicos, acerca do uso de metodologias e estratégias de ensino de matemática que envolvam as TDIC. De maneira especial, àqueles que versam sobre as potencialidades do uso do software Geogebra no processo de ensino-aprendizagem de geometria, particularmente do Teorema de Pitágoras, trazendo, também, subsídios à prática docente e seus desdobramentos. Além disso, os dados obtidos podem servir de suporte e fonte de pesquisa a professores de matemática da Educação Básica e pesquisadores interessados nessas temáticas e que busquem maiores esclarecimentos acerca delas ao longo do tempo e nos diferentes contextos da pesquisa nacional.

Outrossim, os trabalhos analisados apontam que o uso do software Geogebra contribuiu significativamente para a aprendizagem dos estudantes acerca de conteúdos de geometria, em especial, do Teorema de Pitágoras. Ele torna o ensino mais dinâmico e o aluno pode experimentar, interpretar, visualizar, construir generalizações e fazer demonstrações, ou seja, o ele passa a ter papel ativo na sua aprendizagem. Além disso, esta pesquisa oferece aos professores de Matemática da Educação Básica uma coletânea de textos, selecionados e analisados sobre a temática “O uso do Software Geogebra no processo de ensino aprendizado do Teorema de Pitágoras”; assim, os achados da pesquisa podem servir para despertar neles o interesse sobre o assunto, bem como estimular a busca por mais informações e conhecimento em torno da temática e de seus desdobramentos em suas práticas de ensino.

Do mesmo modo, os resultados podem cooperar, de forma considerável, para a formação docente. Isso porque, além de incentivar professores acerca do estudo e utilização do software Geogebra nas aulas, enquanto um recurso didático versátil, com interface amigável e boa permeabilidade nas aulas de matemática, permite um repensar de práticas educativas mais cristalizadas com vistas à inserção de recursos desta natureza nas salas de aula de matemática e nas práticas educativas de matemática de modo geral.

Referências

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 2° Edição. Belo Horizonte 2001.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. (3º e 4º ciclos do ensino fundamental). Brasília: MEC, 1998.

CASTAGNA, E.; LAZO, P. P. D.; O geogebra como recurso pedagógico no ensino de geometria plana. Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE. Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus de Cascavel. 2012.

FERREIRA, N. S. de A. As pesquisas denominadas “Estado da arte”. Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), 2002.

KLAUS, T. S.; PAZOS, R. P. Os níveis de van Hiele com o auxílio de ferramentas computacionais. Universidade em Santa Cruz do Sul - UNISC / Rio Grande do Sul, 2010.

SEVERINO, A. J. Metodologia do Trabalho Científico. 23 ed. rev. e atual. São Paulo: Cortez: 2007.

SILVA; J. E. B. Teorema de Pitágoras: algumas extensões/ generalizações e atividades com o Software GeoGeobra. Dissertação (Mestrado Profissional)- Universidade Estadual Paulista – UNESP/ Campus de São José do Rio Preto. 2014.

TRIERWEILER, F.; WANDERER, F. Geometria na escola: um conjunto de atividades para o ensino do Teorema de Pitágoras. Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRG – Pólo Picada Café. 2015.