11. O Ensino e Aprendizagem de Elipse Utilizando o Geogebra

Resumo: O presente capítulo apresenta um relato de experiência de um curso de extensão, realizado totalmente online oferecido a um grupo de professores de Matemática em formação da região metropolitana de Goiânia. O objetivo do curso foi permitir que os participantes pudessem vivenciar uma proposta em que os conceitos relacionados à elipse fossem construídos por estratégias didáticas que utilizam um software de geometria dinâmica, o Geogebra. Esta escolha justificou-se pelo fato deste recurso permitir a construção de figuras geométricas por meio de suas propriedades inerentes ao conteúdo trabalhado. A carga horária do curso foi de cinco horas, realizadas em momentos síncronos, utilizando um aplicativo de videochamada para computadores e smartphones. Estes momentos foram gravados para o registro e análise das percepções e da realização dos exercícios propostos. A organização das atividades iniciou com a compreensão histórica do conceito de Elipse; em seguida, os participantes se ambientaram ao Geogebra por meio da construção de conceitos elementares da Geometria e, finalmente, atividades que permitiram a discussão das propriedades desta cônica por meio da elaboração e teste de hipóteses visualizadas com os recursos em 2D. Os relatos dos participantes e o registro das atividades permitiram observar as possibilidades de diálogo no processo de mediação pedagógica mediante o uso de recurso tecnológico que possibilite testar hipóteses e conjecturas no processo de apreensão de conceitos matemáticos.

Palavras-chave: Cônicas. Ensino e Aprendizagem de Geometria. Software de Geometria Dinâmica. Tecnologias e Ensino de Matemática.

Introdução

O objetivo deste capítulo é apresentar o relato de experiência desenvolvido em um curso de extensão intitulado “Estudando a elipse com o auxílio do software Geogebra”, destinado a professores de Matemática, com uma carga horária total de cinco horas. Para isso, a proposta foi permitir uma formação que contribuísse com a vivência dos docentes em ambientes de aprendizagem online, utilizando um software de geometria dinâmica. O referido software é destinado ao desenvolvimento de atividades de conteúdos de Geometria Analítica, mais especificamente sobre a elipse, de maneira a favorecer a visualização das propriedades algébricas e geométricas deste conteúdo matemático, com um grupo de professores em formação da região metropolitana de Goiânia.

Pensar em uma proposta que possui como recurso didático um software ocorreu em função de compreendermos a relevância em oportunizar aos professores ambientes que permitam a apropriação de diferentes tecnologias com o propósito de cumprirmos os objetivos educacionais. Nosso entendimento é de que as tecnologias são produtos das relações sociais, culturais e humanas. Elas pertencem ao processo histórico de desenvolvimento científico e sua inserção em espaços formativos traz uma rica oportunidade de revermos nossas práticas, tendo como foco valorizar os processos de construção de conteúdos científicos por meio da mediação didática e pedagógica dos professores.

Neste sentido, Vieira Pinto (2005, p. 274) nos ajuda com esta discussão, pois destaca, em sua obra, que as tecnologias “pertencem ao sujeito real, o homem, ou seja, em termos sociais, às massas trabalhadoras, e deriva do conhecimento do mundo, não podendo por isso, enquanto fator isolado, ser ela própria agente de qualquer ação”. Por isso, nossa defesa é que, em espaços formativos, é relevante observar aspectos que são inerentes ao campo da didática e da prática pedagógica, isto é, da Educação. Sua inserção em ambientes de ensino e aprendizagem nos faz refletir sobre como foi o processo de desenvolvimento dos conteúdos científicos e como este percurso contribui para pensarmos em processos de sua apreensão por parte dos estudantes.

A visualização das propriedades e conceitos em ambientes digitais, como do software Geogebra, pode favorecer a compreensão dos conceitos por meio do teste de hipóteses e a discussão destas conjecturas. Tal fato é um aspecto mobilizador e motivador durante as relações de mediação e diálogo entre os membros do grupo. Como entende Charlot (2001, p. 28) “para apropriar-se de um saber, é preciso introduzir-se nas relações que permitiram produzi-lo”. Por isso, a relevância deste exercício de pensar nestes aspectos.

Esta discussão é relevante para o campo educacional, ao observarmos a forma como a educação básica trata o estudo das cônicas. Eles estão presentes no ensino médio, especificamente na 3ª série. De acordo com os estudos de Lenz (2014), muitas vezes esse conteúdo não é valorizado, pois os docentes recorrem a métodos que priorizam decorar fórmulas, em detrimento da exploração dos aspectos geométricos e algébricos que envolvem a compreensão desse conceito.

O autor observa, ainda, que, nos livros de ensino médio, a elipse, a hipérbole e a parábola são apresentadas utilizando sempre a lógica de: iniciar com a definição, logo após a dedução da equação reduzida e, em seguida, uma lista de exercícios. Para Lenz (2014), esta abordagem não possibilita a compreensão do conteúdo de modo que permita a reflexão de diferentes nexos e aplicações deste conteúdo em situações do cotidiano.

Diante do contexto apresentado e enquanto professoras de Matemática, nos sentimos instigadas em observar uma dinâmica de ensino que utilize o software o Geogebra como recurso didático. O curso de extensão trouxe elementos que permitiram a análise de estratégias que podem favorecer abordagens a partir da compreensão dos conceitos. Para isso, iniciaremos, neste capítulo, apresentando alguns elementos da História da Matemática para a reconstituição do percurso histórico do desenvolvimento dos conceitos da geometria analítica, em específico da elipse, que é uma das secções cônicas. A partir de autores como Boyer (1974), Lenz (2014), Pedroso (2009), buscaremos aspectos que permitam compreender a relevância desse conteúdo para o indivíduo e o entendimento do contexto em que eles vivem. Em seguida, apresentaremos a proposta e os diálogos entre os sujeitos diante do uso dos recursos deste software e o processo de elaboração dos conceitos desse conteúdo.

Aspectos históricos e conceituais do estudo das cônicas como base para a proposta didático-pedagógica

As cônicas são Lugares Geométricos que, além de sua propriedade, possuem uma característica distinta ao serem observadas mediante a intersecção de um plano com um cone duplo de revolução. Etimologicamente, a palavra “cônica” origina-se do grego konikós, que se refere a algo que tem a forma de um cone. Entre os matemáticos que estudaram suas propriedades, destacam-se Menecmo, Euclides, Arquimedes e Apolônio.

Conforme Pedroso (2009), a história enfatiza Menecmo como o primeiro matemático a ver as curvas e a introduzir as secções cônicas na matemática, apesar de não dispor de um sistema de coordenadas. De acordo esse autor, inicialmente Menecmo concebeu as cônicas cortando três tipos de superfícies em um cone de uma folha, a de ângulo agudo (elipse), a de ângulo reto (parábola) e a de ângulo obtuso (hipérbole) por um plano perpendicular à geratriz. E a hipérbole de dois ramos foi desenvolvida por meio dos estudos de Apolônio.

O trabalho sobre cônicas também foi uma das obras mais notáveis do matemático Euclides de Alexandria (360 - 295 a.C.), que escreveu um livro sobre as secções cônicas. Entretanto, assim como algumas de suas obras, o tratado sobre as cônicas também se perdeu com o tempo, podendo ser encontrada referências a quatro livros da obra euclidiana nos estudos de Arquimedes e Pappus. Foi Arquimedes (287 - 212 a.C.) que escreveu a obra “As cônicas” e apresentou os primeiros teoremas sobre as secções cônicas confirmados, bem como demonstrou a área da elipse, do segmento da parábola e determinou a quadratura da parábola. Mas estes estudos foram superados pelo trabalho do matemático Apolônio de Perga, conhecido como Tratado das Cônicas (BOYER, 1974; PEDROSO, 2009).

Apolônio de Perga (262 - 200 a.C.) estudou em Alexandria e foi um geômetra que, ao lado de Euclides e Arquimedes, ganhou lugar entre os maiores matemáticos da história. Sua contribuição trouxe elementos basilares para as secções cônicas na compreensão e no desenvolvimento destes conceitos na geometria analítica. Do mesmo modo que os estudos de Euclides substituíram o que se tinha anteriormente sobre secções cônicas, o tratado das cônicas de Apolônio superou os demais estudos sobre o assunto (PEDROSO, 2009).

Roque (2012) afirma que a nomenclatura das cônicas, que hoje conhecemos como parábola, hipérbole e elipse, surgiu por meio dos trabalhos de Apolônio. O autor ainda afirma que os métodos de construção inspirados no paradigma euclidiano serviram de motivação para os seus trabalhos na virada do século III a.C. para o século II a.C..

Segundo essa autora, o tratado das cônicas de Apolônio foi escrito provavelmente por volta de 200 a.C. Ele é composto por oito livros com 387 proposições. Os quatros primeiros foram preservados em grego e os demais foram traduzidos em árabe. Os primeiros livros possuíam noções básicas sobre cônicas e alguns resultados que já haviam sido anunciados por Euclides, Aristaeus e outros matemáticos. Os outros quatro livros possuíam noções mais avançadas (BOYER, 1974; RIZZATO, 2008).

O Livro 1 possui noções de diâmetro e tangente das cônicas. O Livro 2 mostra as relações entre a Hipérbole e suas assíntotas, bem como a forma de desenhar tangente às cônicas. O Livro 3 possui teoremas sobre tangentes e secantes e a definição de focos, que foi definida como: “ponto que divide o eixo maior em duas partes cujo retângulo (produto) equivale à quarta parte do retângulo formado pelo latus rectum e pelo eixo maior”. Entretanto, vale destacar que os focos da parábola e as diretrizes das secções só viriam a ser considerados por Papus em III d.C. (RIZZATO, 2008; PEDROSO, 2009). Os Livros de 5 a 7 abordavam a forma de encontrar normais às cônicas dadas e proposições sobre o centro da curvatura, que conduziu a equação cartesiana de evoluta (RIZZATO, 2008; PEDROSO, 2009).

Boyer (1974, p. 107) apresenta a definição de cone elaborada por Apolônio:

se fizermos uma reta, de comprimento indefinido e passando sempre por um ponto fixo, mover-se ao longo da circunferência de um círculo que não está no mesmo plano com o ponto de modo a passar sucessivamente por cada um dos pontos dessa circunferência, a reta móvel descreverá a superfície de um cone duplo.

Apolônio demonstrou, em suas obras, que, a partir de um cone, é possível obter três tipos de secções cônicas, variando a inclinação do plano de secção. Entre as contribuições relevantes desse matemático, destaca-se a substituição do cone de uma folha pelo de duas, o que provou que o cone não precisa ser reto, pode ser escaleno ou oblíquo, e a existência da hipérbole de dois ramos (BOYER, 1974).

Neste sentido, pode-se observar que o formato das cônicas depende da inclinação e do ângulo. Uma forma de ilustrar esta compreensão para os estudantes pode ser feita por meio de um corte. Ou seja, se cortarmos o cone duplo com um plano paralelo a base, teremos a circunferência. Caso o corte seja na mesma inclinação da reta geratriz, a figura geométrica será uma parábola. Se o corte do cone for entre a inclinação da reta geratriz e a base, teremos a elipse. E, por fim, se cortarmos com uma inclinação maior que a geratriz, será uma hipérbole.

Os aspectos históricos sobre as cônicas contribuem para compreender o processo de construção e organização do conceito destas curvas. Mas, para obter precisão na construção destas curvas, observando os aspectos geométricos e algébricos, podemos utilizar ferramentas tecnológicas com programas de geometria dinâmica que permitirão realizar cortes no cone, visualizar cada curva e seu comportamento e propriedades inerentes.

O Geogebra na construção de uma proposta de atividade para o ensino da elipse

O percurso histórico do desenvolvimento do conceito de cônicas apresentado é o ponto de partida para buscarmos uma proposta que permita ao estudante visualizar as propriedades e conjecturar hipóteses que contribuam para relacionar com situações do cotidiano. Nessa perspectiva, a proposta destaca a compreensão da elipse. Devido ao limite temporal de realização da pesquisa, decidimos escolher uma, dentre as cônicas, para trabalhar na proposta.

A sequência de ações utilizando um software de geometria dinâmica, descritas a seguir, ilustram momentos de diálogos que podem permitir a elaboração de conjecturas e dedução de propriedades pertencentes à construção desta figura geométrica, pois ele permite a visualização dos movimentos equivalentes ao processo de criação delas, identificando seus elementos e a proporcionalidade de suas dimensões. Nessa perspectiva, optamos pelo Geogebra, por ser um software livre de geometria dinâmica que permite a elaboração de atividades sobre conteúdos de Geometria, Álgebra e Cálculo em todos os níveis de ensino (OLIVEIRA, 2020). Ele foi criado pelo austríaco Markus Hohenwarter, utilizando a linguagem JAVA e está disponível em várias plataformas e idiomas. Outro aspecto relevante é o fato de ser gratuito e poder ser utilizado conectado à internet ou não.

Sua característica de ser uma plataforma aberta permite a organização de várias possibilidades de atividades em relação aos conteúdos. Um diferencial no Geogebra é a dupla representação dos objetos matemáticos, isto é, ele dispõe de duas telas de visualização: uma geométrica e outra algébrica, conforme a Figura 2, a seguir.

Na primeira parte da figura, é possível observar a representação algébrica e na outra a construção gráfica. Destaca-se também, o recurso na tela em que é possível visualizar os textos referentes às equações, às coordenadas, aos comandos e às funções matemáticas das figuras geométricas (CARLOS, 2017; SILVA, 2010).

Assim, todo objeto construído permite aos sujeitos a visualização de suas diferentes linguagens: algébrica e geométrica. Isso contribui para o desenvolvimento de abordagens que permitem ao professor indicar os processos de construção das figuras geométricas a partir do seu conceito e de suas propriedades, o que permite ampliar as possibilidades de diálogo e interação, relacionando o pensamento geométrico e algébrico (OLIVEIRA, 2020; CARLOS, 2017).

As possibilidades descritas foram relevantes para a escolha do Geogebra como recurso didático no curso de extensão, pois ele permite a exploração destas representações na elaboração de dinâmicas para o ensino do conteúdo de elipse. O intuito foi possibilitar aos sujeitos, participantes do curso, vivenciar situações didáticas que permitam a reflexão sobre suas possibilidades na Educação Básica.

O curso de extensão foi realizado em um único encontro de 05 horas, na modalidade online. Organizamos um material em powerpoint, para apresentação dos aspectos históricos e conceituais, bem como das aplicações. O curso contou com a participação de 19 professores cursistas.

Iniciamos com atividades destinadas a identificação de quais os conhecimentos prévios dos conteúdos os participantes possuíam por meio de exercícios que também promoviam a familiarização do software Geogebra. Começamos explorando os conceitos de alguns elementos básicos da geometria, como, por exemplo: o que é o ponto, a reta e o segmento de reta. Para isso, os participantes utilizaram tanto a janela algébrica quanto a geométrica. Realizamos ainda algumas modificações na estrutura e nas configurações dos objetos matemáticos, chamando a atenção dos participantes para observarem na tela o movimento.

Com a finalidade de continuarmos explorando as ferramentas do Geogebra e de conhecer o funcionamento da ferramenta “Controle Deslizante” (Seletor), foi apresentado aos participantes como construir um controle deslizante. Essa ferramenta possibilita observar as variações que ocorrem em objetos matemáticos por meio de parâmetros estabelecidos em um determinado intervalo, assim como utilizá-la como uma variável que pode estar associada ou não a um objeto. No campo de entrada de texto, solicitamos que escrevessem expressões algébricas, que utilizassem os seletores como variáveis e funções que tivessem os seletores como seus coeficientes, para que pudessem movimentar cada seletor e observar os resultados das expressões algébricas, assim como o comportamento das funções escritas.

Em seguida, solicitamos a confecção de dois controles deslizantes (a e b) para representar os parâmetros da equação da elipse e a escrita da equação reduzida $\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1,$ por meio da janela algébrica. Notamos, nesse momento, que alguns participantes apresentaram dificuldades em utilizar o campo de entrada de texto, principalmente porque a escrita da equação exige o uso de frações e potências, necessitando de alguns caracteres para digitá-los.

Em relação à equação anterior, solicitamos que fossem movimentados os parâmetros a e b, um de cada vez para que eles pudessem perceber na janela geométrica as propriedades. Nesse momento, chamamos a atenção para os valores nulos dos parâmetros, quando ou a ou b é zero, conforme o diálogo que podemos ilustrar a seguir:

P1- Ele some, não?! M1 - O que sumiu?
P1- Ele some, né. No caso eu coloquei no B, ele ficou então em cima do eixo, foi isso?
M1 - O que sumiu?
P1 - A Elipse.
M1 - Observe seu campo de entrada. O que está escrito aí?
P1- Equação não definida.

Conforme apresentamos no diálogo anterior, o Geogebra permite que o aprendiz visualize o comportamento das figuras mediante a variação dos valores que são fundamentais para a propriedade de cada figura. A possibilidade é que cada participante possa fazer uma conjectura, visualizar e dialogar com os demais membros do grupo sobre as possibilidades oriundas de cada uma das tentativas e, a partir daí, traduzir na linguagem algébrica. A partir desse momento, trabalhamos com os professores em formação para que pudessem refletir sobre outras propriedades dos conteúdos de Matemática. A reflexão foi sobre quando uma expressão é considerada indeterminada e ressaltamos sobre como os coeficientes a e b devem ser diferentes de zero para que a elipse exista.

Em seguida, para avançarmos na compreensão das propriedades, indagamos: o que acontece quando os parâmetros a e b são iguais?

P2 - forma uma circunferência, na verdade.
M1 - É uma circunferência ou parece uma circunferência?
P2 - é uma circunferência, parece que possui mesmo raio.

A partir da resposta de um dos participantes formalizamos o conceito de circunferência quando foi destacado que:

P3 - a circunferência é uma elipse, mas a elipse não é uma circunferência.

Questionados ainda sobre o que ocorre em relação ao comprimento da elipse quando a é maior que b. Nesse momento, os participantes afirmaram que o eixo maior da elipse estava sob o eixo x e o comprimento menor sob o eixo y. Percebemos, ainda, que a visualização contribuiu com a compreensão quando b for maior do que a, o comprimento maior da elipse estará sob o eixo y e o comprimento menor sob o eixo x.

É importante ressaltar que, ao apresentar a forma reduzida da elipse, não se queria sua memorização, mas utilizar os recursos do software, alterando os valores dos parâmetros para visualizar as modificações ocorridas na curva. Desta forma, para sistematizar as reflexões e conjecturas, realizadas pelos participantes nessa atividade e identificar outro elemento, foi apresentada a Figura 3.

Destacamos que, nesse momento, solicitamos aos participantes que observassem os elementos que compõem a figura geométrica, analisando quais pontos a elipse intercepta os eixos (x e y), qual o segmento que representa o comprimento do eixo maior e do menor. Instigamos a observarem os dois pontos $F_1$ e $F_2$, denominados focos da elipse, e ainda para que eles pudessem se atentar ao triângulo destacado. Nesse instante, questionamos qual relação fundamental pode ser utilizada para calcular o valor do segmento c. Um dos professores participantes (P1) respondeu que é o Teorema de Pitágoras.

A partir disso, colocamos um exemplo, para que pudéssemos calcular o foco, dado o valor dos pontos de intersecção da elipse, denominados vértice. Em seguida, por meio da visualização da Figura 3, identificamos, em conjunto com os participantes, os principais elementos da elipse. São eles:

• $F_1$ e $F_2$ são os focos;
• $A_1$, $A_2$, $B_1$ e $B_2$ são os vértices;
• a é o semieixo maior;
• b é o semieixo menor;
• c é a semidistância focal;
• $\stackrel{-}{F_1{F}_2}=2c$ (distância focal);
• $\stackrel{-}{A_1{A}_2}=2a$ (eixo maior ou eixo focal);
• $\stackrel{-}{B_1{B}_2}=2b$ (eixo menor)

Analisamos cada posicionamento dos focos, centro e vértices da elipse. Destacamos que o posicionamento dos focos da elipse sempre ficará no eixo maior $\stackrel{-}{A_1{A}_2}$, também denominado de eixo focal $\stackrel{-}{A_1{A}_2}$, cujo comprimento é 2a. Notamos que o ponto médio $O$, do eixo focal é centro da elipse e, ao mesmo tempo, é o ponto médio do segmento que representa a distância focal $\stackrel{-}{F_1{F}_2}$. Destacamos, também, que do centro da elipse para qualquer um dos focos recebe a denominação de semidistância focal c.

Ressaltamos as observações feitas por Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), ao abordarem que, os momentos de discussões, como esse que descrevemos, são fundamentais para que os sujeitos compreendam o que significa investigar, assim como possibilitam o desenvolvimento de habilidades de comunicar matematicamente e de realizar reflexões e argumentações. Mesmo não sendo esta a proposta metodológica, destacamos que o diálogo promovido possuiu essa intenção, de oportunizar um ambiente de ensino aprendizagem dialógico e dinâmico. Como Cruz (2005, p.17) amplia:

a compreensão dos conceitos geométricos é favorecida quando estes são explorados num ambiente dinâmico e interativo, pois, tal ambiente, configura-se num recurso que pode possibilitar a transição entre o conhecimento que o aluno já acumula e a facilidade para conjecturar o que o computador proporciona.

Posteriormente, foi exposto um método de construção da elipse, com o uso de barbante. Esticando um barbante, com extremidades presas aos focos, de modo que sua medida seja maior que a distância deles, ao realizar uma rotação, obtém-se a elipse.

A ideia foi de que esse método possui elementos que auxiliam na compreensão da definição de elipse como o conjunto de todos os pontos de um plano, em que a soma das medidas das distâncias de um ponto qualquer da elipse a dois pontos fixos, identificados por $F_1$ e $F_2$ (focos), é igual à medida do comprimento do barbante, ou seja, sempre a constante “2a” (eixo maior). Esse processo (método do “barbante”) foi utilizado para ampliar os argumentos que pudessem contribuir para o entendimento da definição.

Assim, foi solicitada a construção de uma elipse no software por meio da equação reduzida $\frac{x²}{25}+\frac{y²}{16}=1$. Nesse momento, foi possível calcular e marcar a distância focal – entre os focos $F_1$ e $F_2$ - na construção geométrica. Depois, solicitamos que fossem construídos segmentos de reta dos focos a um ponto qualquer da curva e, ainda, a habilitação de suas medidas para que, dessa maneira, visualizassem a definição de elipse mediante o movimento do ponto sob a curva, conforme a Figura 5, a seguir, ilustra:

Outro elemento importante no aprendizado da elipse é a excentricidade. Ela está relacionada ao achatamento ou arredondamento da curva. Para estudá-la, estipulamos uma medida fixa para o eixo maior e utilizamos a ferramenta de construção da elipse, conhecendo a medida e/ou as coordenadas dos focos. Assim, pedimos que os participantes construíssem algumas elipses com focos que, gradativamente, fossem se afastando da origem e aproximando dos vértices do eixo maior. Nesse momento, pedimos que eles observassem, nesse movimento na tela, que quanto mais próximos os focos estão da origem, mais arredondada é a elipse e quanto mais distantes os focos estão da origem, mais achatada ela é, como é possível observar na Figura 6:

No processo de mediação, solicitamos que os professores cursistas alterassem os valores e testassem no software, de maneira a observar que a medida que valor se aproxima da razão entre a semidistância focal c e o semieixo maior a, os focos se distanciam ou se aproximam. Durante esse processo, um dos professores participantes observou quando os focos se distanciam da origem que:

P5: Ele vai chegar ao inteiro, a um. E, ao contrário, vai ser zero.

A visualização por meio do software permitiu observar o “achatamento” ou “arredondamento” da curva, auxiliando os professores participantes a realizarem conjecturas e a sistematizar propriedades. Essa é uma característica marcante nos softwares de geometria dinâmica, pois eles possibilitam a dinamicidade das construções, o que contribui para uma visualização de propriedades inerentes ao conceito matemático trabalhado.

Ao final desta atividade, foi feita a formalização do conceito de excentricidad e da elipse, que é o quociente entre a semidistância focal “c” e o semieixo maior “a”, definido pela divisão $e=\frac{c}{a}$, onde $0 < e < 1$. Em outras palavras, a excentricidade é o que dá a forma à elipse. Quanto mais próxima de zero for a excentricidade, mais circular a elipse será e quanto mais próxima de 1, mais “achatada” será (OLIVEIRA, 2011).

Após incentivarmos os professores a observar as relações entre percepções geométricas e a notação algébrica da elipse e de seus elementos, foi realizada a dedução da equação reduzida, com centro na origem e comprimento maior sob o eixo x. Para isso, partimos de sua definição: “é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante” (STEINBRUCH; WINTERLE, 1995, p.226).

Vale destacar que os recursos de softwares de geometria dinâmica permitem um diálogo com os estudantes sobre a construção e a movimentação destas propriedades. É possível testar hipóteses que permitam a quem está construindo estes conceitos visualizar tais propriedades e compreender o conceito das figuras geométricas. O processo de mediação do professor buscou permitir aos participantes compreender o processo de dedução da equação reduzida da elipse, questionando-os a não só a perceberem a veracidade da definição da equação, mas principalmente testar outras hipóteses, outras possibilidades para estudá-la e descrevê-la quando o eixo maior está em outro posicionamento.

Enfatizamos aos participantes a visualização de que a característica da equação vai depender da posição da elipse em relação ao plano cartesiano. Se a elipse tiver centro na origem e o eixo maior for horizontal (eixo maior em x), temos a seguinte equação: x. Mas, se a elipse tiver centro na origem e eixo maior for vertical (eixo maior em y), teremos a equação: $\frac{y²}{a²}+\frac{x²}{b²}=1$. Sugerimos ainda a visualização de que se a elipse tiver centro fora da origem e eixo maior horizontal, teremos a seguinte equação $\frac{(x-x^{\text{'}})²}{a²}+\frac{(y-y^{\text{'}})²}{b²}=1$. Mas, se a elipse estiver fora da origem e o eixo maior for vertical, teremos a fórmula $\frac{(y-y^{\text{'}})²}{a²}+\frac{(x-x^{\text{'}})²}{b²}=1$.

A última parte da proposta foi destinada às situações que envolviam aplicações dos conceitos e características da elipse, relacionados à Óptica, Engenharia, Astronomia e Acústica. Durante a atividade, alguns participantes também relataram situações vivenciadas, que estão relacionadas ao conceito de elipse. Um deles, P1, narrou uma cena de um filme que traz a história da matemática, ao utilizar conceitos da elipse para entender os movimentos da Terra e que, após a realização das atividades, conseguiu compreender a relação apresentada no filme, bem como o conceito. Outro participante, o professor P4, destacou que sempre utilizou o método do barbante em seu trabalho com vidraçaria para a construção de espelhos elípticos; porém, encontrava os focos por meio de tentativas.

No desenvolvimento da proposta didática utilizando o Geogebra, percebemos a possibilidade de momentos de motivação e mobilização dos sujeitos mediante as possibilidades de visualizar as construções geométricas, bem como o levantamento e o teste de hipóteses. Tais aspectos podem permitir, em situações futuras, a ampliação dos conceitos da elipse, de outras cônicas e sua aplicabilidade em situações vividas pelos participantes.

Considerações finais

Ao final desta proposta, identificamos uma possibilidade para dinâmicas de ensino e aprendizagem das cônicas que utilizam os recursos que do Geogebra possui e as formas de trabalho que podem ser desenvolvidas de maneira que superem a perspectiva determinista de uso das tecnologias em espaços formativos. Vale ressaltar que este relato teve como propósito apresentar possibilidades de ensino da elipse com o Geogebra para visualização das propriedades algébricas e geométricas que constituem as características deste lugar geométrico, em um trabalho realizado com um grupo de professores em formação da região metropolitana de Goiânia.

Essa característica de permitir a visualização das propriedades e testagem das hipóteses pode enriquecer as discussões e os processos de mediação pedagógica entre quem ensina e quem aprende. É possível, nesses ambientes, testar conjecturas que traduzem o percurso de compreensão e apropriação de conceitos que, muitas vezes, são difíceis de serem compreendidos sem a visualização das imagens.

Ao final, percebemos que a realização proposta com o Geogebra permite aos professores em formação vivenciarem possibilidades que fomentam o diálogo e a construção de ideias, podendo, inclusive, relacioná-las com diferentes situações do cotidiano escolar. Trata-se, desta maneira, de contribuir para que estes sujeitos reflitam sobre as possibilidades de organização do trabalho pedagógico do professor de matemática que estes recursos tecnológicos permitem aos espaços de formação desta disciplina. Nesta perspectiva apresentada, evidenciam-se as possibilidades de diálogo no processo de construção dos conceitos, uma vez que essa interação é fundamental para a apreensão dos conteúdos científicos.

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