7. Compreensão do Conceito de Números Pares e Ímpares: uma vivência teórico-prática

Resumo: Este relato de experiência envolveu alunos de terceiro ano do Ensino Fundamental - Anos Iniciais, de uma escola da rede pública federal de ensino, no município de Goiânia, e teve como objetivo a compreensão do conceito de números pares e ímpares. A base teórica foi constituída pela investigação matemática elaborada por Ponte, Brocardo e Oliveira e resolução de problemas enunciada por Onuchic; teorias que apresentam elementos para elaborar, desenvolver e analisar a atividade proposta a partir da leitura de um livro de história infantil. O desenvolvimento da atividade possibilitou discussões e interações que potencializaram a apropriação do significado do conceito de par e ímpar e reflexões acerca de como agir para prever o resultado.

Palavras-chave: Números pares e ímpares. Investigação Matemática. Ensino fundamental - Anos Iniciais.

Introdução

Este texto trata de uma atividade desenvolvida com oito alunos do terceiro ano do Ensino Fundamental – Séries Iniciais, do Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada à Educação (CEPAE) da Universidade Federal de Goiás. A aula tinha como objetivo a compreensão do conceito de números pares e ímpares, no conjunto dos números naturais, por meio da resolução de uma situação extramatemática. A metodologia utilizada foi de Investigação Matemática, a fim de propiciar momentos de investigação e reflexão acerca da problemática apresentada.

Os procedimentos metodológicos utilizados para a obtenção dos dados constituíram-se em: diário de campo do professor e registro das produções dos alunos por meio do arquivamento de cópia da atividade proposta. Os estudantes fazem parte do projeto denominado Ponto de Apoio, que acontece no contraturno das aulas normais, uma vez por semana. Este projeto está voltado para os alunos que apresentam alguma dificuldade de aprendizagem.

Para desenvolver o projeto, cada professor, em sua disciplina, detecta os alunos com dificuldades e envia um convite para a respectiva família. Os professores de cada ano escolar reúnem-se em duplas para o atendimento. Neste ano, reuniram-se os docentes de Língua Portuguesa e de Matemática.

As professoras das duas disciplinas decidiram por um trabalho conjunto, pois o objetivo do Ponto de Apoio era a leitura, escrita e raciocínio lógico. Destacamos que, no terceiro ano, o aluno ainda está em processo de alfabetização e, caso não consiga ler e compreender um texto ou situação, será previsível que não consiga fazer suposições ou mesmo encontrar a solução para uma questão que demanda o uso da Matemática, bem como não dominará a habilidade de registrar de forma legível seu pensamento acerca da situação. Além disso, as professoras constataram que a maioria dos alunos com dificuldades em Matemática também demonstravam ter dificuldades em Língua Portuguesa.

Os encontros foram divididos em duas etapas: na primeira, as crianças eram recepcionadas e apresentadas ao assunto a ser tratado, geralmente um texto com o intuito de trabalhar a Língua Portuguesa e, quando possível, a Matemática. As professoras, por meio do diálogo, fizeram questionamentos acerca da temática a fim de verificar os conhecimentos prévios dos alunos. Em seguida, deu-se o momento da leitura compartilhada. Na sequência, os alunos relatavam sua compreensão do texto, qual a problemática focalizada e o desenvolvimento do tema. Esses passos foram mediados pelas professoras. Em seguida, passamos às discussões de moral do texto, por exemplo: foi certa a atitude? O que o personagem poderia ter feito? Como poderia ter resolvido a situação? Foram oportunizadas aos alunos a reflexão e a tomada da melhor decisão mediante aquela situação. Após toda a discussão sobre o texto, eles procederam aos registros escritos ou figurais do texto e depois compartilharam suas anotações com o grupo, e as professoras fizeram as devidas correções de escrita ou mesmo de compreensão.

Na segunda etapa do encontro, normalmente trabalha-se com uma situação matemática que foi exposta no texto ou que seja relacionada com o assunto apresentado na primeira etapa. Nessa fase deste estudo, o aluno leu a situação proposta e relatou sua interpretação. O professor desenvolveu uma discussão com o objetivo de estimular e verificar se houve a compreensão de todos. Segundo Freitas (2010), cabe ao professor estruturar as atividades de forma que haja o envolvimento ativo dos alunos e proporcionar-lhes tarefas que contribuam para essa aprendizagem, permitindo-lhes momentos de investigação e reflexão acerca do objeto matemático.

Brousseau (1986) salienta que, nesta discussão, o professor deve se atentar às suposições dos alunos para que eles não se distanciem demais do objeto em estudo. O docente não deve dar respostas acabadas para que o estudante não perca o entusiasmo, levando-se em conta que não há aprendizado sem que haja suposições, testagem e compreensão do conteúdo.

Após as reflexões sobre o texto, os alunos executaram a tarefa, organizando os dados, realizando as anotações e cálculos necessários. Neste relato, abordamos apenas a experiência vivenciada relativa à aprendizagem matemática por meio de atividade proposta pelo professor. Destacamos que os nomes dos alunos são fictícios de modo a preservar sua identidade; além disso, o CEPAE, por ser um campo de estudos e pesquisas, solicita aos responsáveis pelos alunos a assinatura de autorização para a permissão de publicação de estudos produzidos, o que foi previamente observado pela pesquisadora.

Referencial teórico

A ênfase dada à Matemática do 3o Ano do Ensino Fundamental, de acordo com a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), é a:

leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de quatro ordens e a composição e decomposição de números naturais, de modo que o estudante possa ler, escrever e comparar números naturais e identificar características do sistema de numeração decimal. (BRASIL, 2017, p. 284-285).

O que justifica, assim, o ensino de números pares e ímpares nesta série. Para o desenvolvimento da aula, ancorou-se na metodologia de Investigação Matemática proposta por Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) e na resolução de problemas formulada por Onuchic (1999).

A metodologia de investigação matemática é uma via aceita e recomendada por estudiosos como uma das possibilidades de elaborar, organizar e aplicar uma tarefa, além de promover a compreensão de um objeto matemático.

De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), um trabalho de investigação pode “despertar o espírito investigativo do aluno, na medida em que este é chamado a agir como um matemático” (p. 23); além disso, a investigação em Matemática faz a ponte entre a situação concreta e o conceito matemático, estabelecendo uma relação entre eles.

Os autores supracitados destacam que, para o desenvolvimento de uma atividade de investigação, é necessário observar três pontos essenciais: o primeiro trata da introdução da atividade, podendo ser oral ou escrita; o segundo ponto refere-se ao desenvolvimento da atividade: individual, em duplas, em grupos ou com toda a turma. No terceiro, a ênfase é para a discussão da atividade, em que o aluno compartilha com os demais as suas conclusões. Os autores ressaltam a importância destas etapas, pois desenvolvem a capacidade de ouvir, refletir, questionar, mobilizar conhecimentos matemáticos e argumentar, culminando num processo que poderá proporcionar a assimilação da situação.

Assim, dentro dos princípios da investigação matemática, foi elaborada uma atividade matemática a partir do texto literário: Bem-me-quer, mal-me-quer! Margarida par ou margarida ímpar? Bari (2001), que foi introduzida após a leitura do texto. Na sequência, os estudantes fizeram a leitura e a compreensão da respectiva atividade e, finalmente, após a execução da tarefa por todos os alunos, teve lugar a discussão entre o professor e o grupo.

Em consonância com Sierra (2006), pontuamos que o processo de introdução, desenvolvimento e discussão do estudo não transcorreu de modo linear. Cada momento foi vivido com intensidades diferentes, às vezes as fases ocorriam simultaneamente, porém coube ao professor proporcionar e criar o ambiente para que todas as etapas fossem percorridas.

Além da investigação matemática, também utilizamos elementos da resolução de problemas. Segundo Polya (2006), é importante que os problemas sejam provocativos, pois quando o aluno é desafiado na busca de solução, suas emoções de entusiasmo são despertadas e certamente vão provocar seu interesse em resolvê-los. Desse modo, nosso questionamento foi “Como ajudar Risonho a entender por que a margarida que ele contou no final resultou em mal-me-quer e como ele poderia prever o resultado?”

A metodologia de resolução de problemas possibilita ao aluno a pesquisa, a construção e a compreensão dos conceitos matemáticos, uma vez que a estruturação de conhecimento baseada na resolução de uma situação concreta permite a assimilação e facilita o reinvestimento deste saber nas mais diversas situações. Conforme Onuchic (1999), a resolução de problemas é uma ferramenta ativa de compreensão do problema, pois, à medida que o raciocínio se torna significativo, favorece a aptidão do uso da Matemática para a solução de problemas.

A aula

Na aula, tratamos do tema Números pares e ímpares. Iniciamos apresentando o livro: Bem-me-quer, mal-me-quer! Margarida par ou margarida ímpar? (BARI, 2001). O texto apresenta três personagens: Risonho: personagem principal, Bacana: o amigo e Lindinha: a amada. A história conta que Risonho estava muito tristonho, então o amigo Bacana perguntou-lhe o que estava acontecendo. Risonho então contou ao amigo que disse a Lindinha que gostava muito dela. Ela então pediu para que ele provasse o que dizia. Como eles estavam em um jardim, ele teve a ideia de pegar uma margarida e começou a tirar suas pétalas, contando bem-me-quer e mal-me-quer para cada pétala retirada. Porém aconteceu o inesperado; ao final da contagem, o resultado foi mal-me-quer. Lindinha ficou furiosa e foi embora e Risonho ficou muito triste.

O amigo Bacana, ao ouvir o relato, perguntou a Risonho se a margarida que ele usou era par ou ímpar. Risonho achou a pergunta do amigo estranha e disse que não estava entendendo por que precisava saber isso. A partir de então, interrompemos a leitura da história pelos alunos e foi apresentada uma atividade de investigação voltada para o raciocínio lógico-dedutivo, a saber:

Inicialmente, a fim de detectar os conhecimentos prévios acerca das principais partes de uma planta, solicitamos aos alunos que identificassem as partes de uma margarida, perguntamos se sabiam o que são as pétalas, se já tiveram contato com uma margarina e se reconheciam a sua forma.

Observamos que os alunos reconheciam as partes das plantas; no entanto, não tinham familiaridade com o objeto margarida. Indagamos qual era a cor da margarida. Obtivemos como respostas: amarela, branca e rosa. Assim, explicamos que a margarida tem pétalas brancas e o miolo (semente) é amarelo e, usando a tecnologia, mostramos uma foto de margarida. Assim, eles poderiam compreender melhor a história. Outro questionamento foi se já haviam feito ou conheciam esta brincadeira de bem-me-quer e mal-me-quer. Alguns alunos verbalizaram que já haviam tido contato com ela e outros disseram que não. Assim, foi necessário explicitarmos a ideia da brincadeira e representá-la com uma flor de papel.

Na atividade dois, solicitamos que o aluno representasse uma margarida de quatro, cinco, seis e sete pétalas respectivamente. Indagamos às crianças se contassem bem-me-quer e mal-me-quer em cada uma das margaridas, como terminaria? Pedimos para que usassem B para indicar bem-me-quer e M para indicar mal-me-quer, anotando em cada pétala. Além disso, solicitamos que destacassem por onde começou a contagem, se em bem ou mal-me-quer e onde terminou.

Nessa tarefa, nosso objetivo era verificar se houve a compreensão do texto, e se o aluno estabelecia uma relação entre a contagem na flor com número de pétalas pares e ímpares.

Na produção, pudemos avaliar que o aluno compreendeu a noção de pétalas, já que conseguiu reproduzir a flor com a quantidade esperada. No entanto, ele não se preocupou em reproduzir as cores típicas da margarida, colorindo com cores multivariadas. Ainda observamos que na margarida de sete pétalas, ele errou ao alternar entre B e M as pétalas. O aluno marcou um ponto ao lado da letra B ou M para denotar o início da contagem.

Já a aluna Mei representou com a quantidade de pétalas requerida e justificou que não pintaria, porque a margarida é branca. Assinalou o início da contagem com um círculo e um ponto para o fim da contagem e não apresentou erro na alternância entre B e M.

Destacamos a produção do aluno Téo, a saber:

A figura evidencia que a primeira anotação corresponde ao início da contagem e a última ao término da contagem, em cada uma das margaridas, de quatro, cinco, seis e sete pétalas respectivamente. Após este registro, pedimos aos alunos que verificassem como começou a contagem e como terminou, interrogando-os: será que a contagem começa e termina sempre igual?

Enfatizamos a atividade da aluna Mei, a qual apresenta um registro sofisticado diante dos demais, pois utilizou a flecha para indicar o início e fim da contagem, bem como as siglas B e M com facilidade. Perguntamos sobre o segundo registro presente no quadro, ela justificou que contou, tanto começando por B, quanto por M para verificar se tinha feito corretamente.

Na sequência, perguntamos aos estudantes como ficou o quadro de anotações e qual a percepção. Seguem as discussões:

Aluno Kako: Começa de um jeito e termina de outro.
Aluno Beto: Não, termina do jeito que começa.
Prof: Na margarida com quatro pétalas, como começaram? Por bem-me-quer ou mal-me-quer e como termina?
Aluno Guto. Comecei por bem-me-quer e terminou em bem-me-quer.
Aluno Duda. Comecei em mal-me-quer e deu bem-me-quer.
Aluno Mei: Eu comecei em bem-me-quer e terminou em mal-me-quer.
Aluno Téo: Eu também.
Prof: E aí o que será que aconteceu? Para uns, a contagem começa de um jeito e termina de outro e para outros, começa e termina do mesmo jeito.

Desse modo, após todos terem reportado a sua resolução, verificamos que algumas crianças registraram alternando a sequência das pétalas entre B (bem-me-quer) e M (mal-me-quer), já outros não. Assim, estudantes e professores ajudaram os alunos a detectarem o erro e a corrigí-lo.

Foi possível concluir que, para a margarida de quatro pétalas, se a contagem começar por B, a última pétala será M e vice-versa. Ao interrogá-los sobre como poderia ser classificado o número quatro, os alunos Kako, Guto e Mel responderam que seria um número par.

Seguimos para a margarida de cinco pétalas. Nesta, procedemos da mesma forma que na anterior, questionando como começou a contagem e como terminou.

Aluno Kako: Comecei em M e terminou em M.
Alunos Guto e Beto: Também deu assim.
Aluno Mei: Comecei em B e terminou em B.
Alunos Duda: O meu também.
Prof.: Por que vocês acham que isso aconteceu? Retomamos a atividade anterior, em que tínhamos quatro pétalas e os resultados obtidos. Já para cinco pétalas, vocês estão dizendo que começa e termina com a mesma palavra. O que será que está acontecendo? Pedimos então que resolvessem para as seis e sete pétalas para ver o que iria acontecer.

Após as anotações, verificamos que o aluno Kako havia contado erroneamente. Mostramos a ele que, para sete pétalas, ele fez a sequência M, B, M, B, M, M, B, mas que era necessário que ele intercalasse um B e depois um M, pois é assim que acontece na brincadeira. Na continuação, solicitamos que os alunos falassem sobre suas anotações para seis e sete pétalas.

Para seis pétalas, os alunos Mei, Duda, Guto, Beto obtiveram os resultados semelhantes, ao começarem por B, terminaram em M ou, ao começarem por M, terminaram com B. Para sete pétalas, os alunos Téo, Beca e Léo iniciaram a contagem por M e finalizaram em M. Kako iniciou por B e terminou por B.

Após realizarem a atividade acima descrita, pedimos para que observassem os resultados para cada margarida e respondessem ao questionamento seguinte:

Prof.: Em todas as margaridas, se começar a contagem de uma forma, termina igual ou diferente?
Aluno Kako. Algumas igual, outras diferentes.
Prof.: Por que será que isso acontece? O que vocês acham que pode ser a causa disso? Vamos anotar.

Obtivemos algumas respostas como: Aluna Beca: “Porque os números são diferentes”. Aluno Kako: “Porque os números são pares e ímpares”. Também identificamos respostas relacionadas com a forma de contagem, como escreveu Léo: “primeiro começa em M ou B”. Essa afirmação evidencia que o aluno não avançou no entendimento dos motivos geradores da situação.

Destacamos a produção dos alunos Guto e Mei, a seguir:

Verificamos que o aluno Guto compreendeu o motivo de os resultados da contagem serem diferentes para as margaridas, ou seja, trata-se de margaridas que têm quantidade de pétalas pares e outras com ímpares. Essa constatação foi bastante importante, pois advém de um aluno que apresenta sérias dificuldades na escrita e interpretação de texto, porém, facilidade com o raciocínio lógico.

A aluna Mei diz: “Quando a quantidade é de número par, começa de um jeito e termina diferente. Quando a quantidade é número ímpar, começa de um jeito e termina igual”, evidenciando um entendimento adequado e uma escrita muito esclarecedora, veja:

Interrogamos os alunos para quais quantidades de pétalas, a contagem começava e terminava igual: Respostas: com cinco e sete pétalas, a contagem começa e termina igual; com quatro e seis, a contagem termina diferente. Anotamos no quadro-negro em forma de tabela e começamos a questionar o que estes números têm em comum. Os alunos logo perceberam que se tratava de números pares e ímpares. Desse modo, começamos a especular com relação a outros números. Se tivéssemos uma margarida com 11 pétalas e começássemos a contar por bem-me-quer, como terminaria? Esse número é par ou ímpar? Em qual das tabelas colocaríamos?

Um aluno respondeu: na primeira tabela, 11 é ímpar. Então toda vez que o total de pétalas é ímpar, começa e termina igual? Vamos testar? Que tal 17? Vamos fazer mentalmente. Após alguns minutos, a resposta foi afirmativa para três dos alunos. Os demais se perderam na contagem, demonstrando a necessidade de o professor trabalhar mais com o cálculo mental. E se a margarida tivesse dez pétalas, como ficaria a contagem começando por B? Para todos os pares, isso acontece? Cada aluno testou um número par, começando por B. Foram testados 8, 12, 20...

Por fim, indagamos o que Risonho deveria fazer para que, ao contar bem-me-quer e mal-me-quer numa margarida, para a Lindinha, nunca desse mal-me-quer? Obtivemos respostas como a da Aluna Beca: “Começar com B quando ímpar e M, quando par”. Percebe-se que houve o entendimento de que, de acordo com o número de pétalas, é necessário pensar para obter a resposta desejada. Aluno Téo: “Começar no mal-me-quer e contar até o número 20 e vai dar no bem-me-quer”. Ou seja, o aluno deixa implícito que, para números pares, a contagem termina diferente do modo como começou, evidenciando a compreensão da situação apresentada, porém necessita avançar no conceito.

A aluna Mei descreve: “Se a margarida tiver uma quantidade ímpar de pétalas, ele vai ter que começar contando do bem-me-que. Se tiver uma quantidade par de pétalas, ele vai ter que começar contando do mal-me-quer”, destacada abaixo, que nos surpreendeu pela riqueza de detalhes em sua escrita e pela compreensão da situação, reforçando a importância da resolução de problemas e da investigação matemática.

Considerações finais

A ideia do projeto é mostrar aos nossos estudantes que a leitura do mundo está associada à leitura de números. Levamos para os encontros diferentes tipos de textos com linguagens diversas: histórias em quadrinhos, poemas, textos literários..., todos eles com uma temática associada a conteúdos de Matemática, como, por exemplo: grandezas e medidas: de comprimento, massa, capacidade, medidas de tempo: horas, mês, ano, e as quatro operações fundamentais: multiplicação, divisão, soma, subtração.

Entender o sentido das palavras, das frases, dos textos e dos contextos é importante para que os alunos consigam pensar logicamente, para que a Matemática não se restrinja à memorização de regras e sequências numéricas. Além disso, o uso da investigação aliada à resolução de problemas estimula a reflexão, a suposição, a busca por uma solução, facilitando a escolha de estratégias adequadas.

Em todos os encontros do Ponto de Apoio, o registro escrito está presente, seja de forma individual, em que cada criança escreve sobre o que pensa acerca da temática trabalhada, ou na forma de escrita coletiva, em que todos opinam juntos, construindo o registro no quadro negro. Esse trabalho contribui de modo significativo para a autonomia de pensamento dos estudantes, pois, ao registrarem o pensamento por meio de textos, estão elaborando, raciocinando e criando; são protagonistas do próprio conhecimento.

Ao final da aula, foi possível observar que alguns alunos puderam compreender que o resultado da contagem não é aleatório, depende da quantidade de pétalas que a margarida possui, par ou ímpar e, que de acordo com a resposta requerida, o indivíduo pode agir para prever o resultado, ou seja, se quer uma resposta B, precisa observar primeiro a quantidade de pétalas e decidir por onde começar, se B ou M, assim não haverá erros.

Outro fator importante foi os alunos perceberem que, numa brincadeira simples, existe uma matemática por trás que norteia as decisões a serem tomadas.

Referências

BARI, A. Bem-me-quer, mal-me-quer! Margarida par ou margarida ímpar? Série Matemática em cena. São Paulo: Scipione, 2001.

BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2017. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf. Acesso em: 2 de março de 2020.

BROUSSEAU, G. Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, v. 7, n. 2, p. 33-115, 1986.

FREITAS, J. L. M. Teoria das Situações Didáticas. In: MACHADO, S. D. A. (Org). Educação Matemática: Uma (nova) introdução. 3. ed. São Paulo: EDUC, 2010. p. 77-112.

POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. 2 reimpressão. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigação Matemática na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

SIERRA, T. A. Lo matemático em el diseño y analisis de organizaciones didácticas: los sistemas de numeración y la medida de magnitudes. 2006. 478 f. Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Educación, Departamento de Didáctica y Organización Escolar Madrid, 2006.

ONUCHIC. L.R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Ap. V. (org). Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. Editora Unesp: Rio Claro. 1999.