5. Algumas Ideias da Modelagem Matemática em uma Experiência de Ensino de Matrizes

Resumo: O presente trabalho é um relato de experiência, vinculado ao estágio supervisionado, que apresenta alguns resultados relacionados à modelagem matemática associada à leitura e à interpretação de texto para o ensino de matrizes, realizado com uma turma de 2º Ano do Ensino Médio de uma escola pública federal da cidade de Goiânia. A questão foco propõe, em sua essência, apresentar as análises dos impactos advindos da utilização de situações problemas, envolvendo a interpretação da matemática, de modo a verificar até que ponto este contribui com o desenvolvimento e modificação da aprendizagem matemática nos ambientes escolares para despertar o interesse sobre a disciplina. Propõe-se uma metodologia de ensino baseada na realidade dos estudantes, juntamente com a modelagem matemática, por meio da utilização de problemas para, então, fazer uma análise de como essas metodologias influenciaram na relação da matemática formalizada em sala de aula com aquela que está presente em seu cotidiano. O estudo evidenciou que a interpretação da matemática, juntamente com a modelagem matemática, gerou resultados positivos para o ensino de matrizes, havendo, assim, um desenvolvimento e a modificação acerca do conhecimento matemático.

Palavras-chave: Modelagem Matemática. Ensino de Matrizes. Leitura e Interpretação.

Este trabalho tem a finalidade de apresentar uma experiência de ensino de matrizes, realizada por meio da Modelagem Matemática associada à leitura e à interpretação da linguagem matemática, utilizada em sala de aula, para os alunos do Ensino Médio. Esta proposta de ensino está relacionada ao desenvolvimento do Estágio Supervisionado III, do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Goiás.

Compreendendo como é o ensino de matrizes no Ensino Médio (SOUSA; PANOSSIAN; CEDRO, 2014), propusemos uma metodologia de ensino baseada nas necessidades e na realidade dos estudantes, juntamente com situações-problemas, caracterizadas pela modelagem matemática. Na proposta pedagógica desenvolvida, partimos do pressuposto de que os alunos têm a necessidade de compreender a matemática presente, tanto em sala de aula quanto a encontrada em seu cotidiano. O foco principal deste capítulo é a apresentação e a reflexão sobre as respostas que os estudantes produziram ao desenvolverem um conjunto de tarefas de ensino que envolvem a multiplicação de matrizes.

Destacamos como metodologia de ensino principal a modelagem matemática para conduzir o processo de ensino e aprendizagem. Nessa perspectiva, caracterizamos a Modelagem Matemática como um ambiente de aprendizagem, no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da Matemática, situações provenientes de outras áreas (BARBOSA, 2003).

O percurso deste trabalho é o seguinte: inicialmente, apresentamos brevemente o contexto da experiência de ensino. Em seguida, discutimos o ensino da álgebra no Ensino Médio com base em nossos referenciais. A seguir, mostramos a organização geral da proposta pedagógica. O penúltimo passo é dedicado à discussão das respostas dos estudantes as tarefas apresentadas. Por fim, tecemos as considerações finais.

O contexto escolar

Essa investigação foi desenvolvida com uma turma de 2º Ano do Ensino Médio, em um colégio da rede pública federal do estado de Goiás, por meio da disciplina de Estágio Supervisionado III, do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Goiás.

A turma em que o trabalho foi desenvolvido era composta por 28 alunos, com faixa etária de 15 a 18 anos. Dois alunos estavam repetindo o 2º ano devido à reprovação na disciplina de matemática, e outros quatro alunos já haviam repetido alguma série.

O ensino de álgebra no Ensino Médio

O conteúdo desenvolvido em sala de aula, juntamente com proposta investigativa, foi o ensino de matrizes. A respeito deste conteúdo, Sanches (2002, p.7) afirma que:

A álgebra das matrizes tem importância significativa para várias ciências e encontra, cada vez mais, aplicações em diversos setores como a Economia, a Engenharia e Tecnologia, etc. Se não ocorrer uma aprendizagem significativa e relevante dos conceitos de matrizes, os estudantes poderão apresentar dificuldades, em níveis mais avançados, para compreender e aplicar outros conceitos relacionados, tais como conceitos de programação, computação gráfica, custos de produção, teoria dos grafos, circuitos elétricos, modelos econômicos lineares, entre centenas de outros.

Percebendo a importância de aplicações no ensino de matrizes e as possibilidades em trabalhar com o cotidiano dos alunos por meio da transformação de tabelas em matrizes, buscamos uma alternativa para o desenvolvimento das habilidades e competências necessárias aos estudantes do ensino médio. A opção escolhida recaiu sobre a modelagem matemática.

A Modelagem Matemática é uma ferramenta que muitos autores (SILVEIRA; CALDEIRA, 2012) consideram uma aliada para a modificação das concepções negativas dos alunos sobre a disciplina, uma alternativa para esquivar-se do “método tradicional”. Partindo desse pensamento, nosso propósito foi possibilitar aos alunos a mudança de visão para com a disciplina, confiando na importância da integração e de interpretações de situações provenientes do cotidiano e de outras áreas do conhecimento na sala de aula.

Acreditamos que, nas aulas de matemática, os alunos consideram aquele local como um lugar para se aprender o conhecimento formal, o qual não conseguem relacionar com outras disciplinas e tampouco com seu cotidiano. É preciso que a sala de aula se torne um ambiente propício para o desenvolvimento dos alunos, no qual vejam a possibilidade de mudança que permite aprender matemática e não apenas receber os conteúdos estabelecidos, ao longo do tempo, sem se sentirem motivados a realizar o seu estudo.

Com este propósito, consideramos a Modelagem Matemática como uma ferramenta aliada à leitura e interpretação, para modificar as concepções negativas dos alunos sobre a matemática e despertar o interesse pela disciplina. Com isso, foi criado um ambiente propício e no qual era possível ocorrer o ensino e a aprendizagem matemática, de modo que os alunos se tornassem críticos e autônomos, distanciando-se, assim, das práticas de ensino marcadas pela valorização da repetição pelos estudantes do que o professor fala e faz em sala de aula.

É evidente que os alunos não encontram somente bloqueio para a compreensão da matemática, mas também na leitura e interpretação da língua materna, o português, dificultando cada vez mais o processo de ensino-aprendizagem. Nessa perspectiva, Fonseca e Cardoso (2005, p. 66) afirmam:

De fato, nas aulas de matemática, as oportunidades de leitura não são tão frequentes quanto poderiam, pois os professores tendem a promover muito mais atividades de “produção matemática” entendida como resolução de exercícios. Práticas de leitura não apenas de textos, mesmo que teóricos, de matemática, como também de descrição ou explicação escrita de procedimentos são, muitas vezes, preteridas em benefício das explicações dos macetes e das receitas.

Dessa forma, buscamos utilizar as oportunidades de leitura e interpretação para compreender as principais causas que colaboraram para o ensino da matemática. Para isso, será utilizada a Modelagem Matemática associada à leitura e interpretação de texto no ensino de matrizes para os alunos do Ensino Médio.

A proposta de ensino

A escolha do conteúdo de matrizes, como objeto das tarefas, surgiu da observação em sala de aula de que as práticas de ensino valorizam o uso do livro didático e que, na maioria dos momentos, este tópico é apresentado sem nenhuma contextualização. Como consequência dessa realidade, os alunos acabam por memorizar e repetir o que o professor faz no quadro, sem perceber e entender qual é o propósito deste conteúdo no seu cotidiano.

Nesta proposta pedagógica, um dos objetivos era mostrar que matrizes têm um papel importante na sociedade. Para a elaboração e organização das tarefas, partimos do pressuposto de que, para muitos alunos, a matemática pertence ao mundo exterior e é impossível de entender. Dito isso, buscamos planejar atividades em que eles percebam e consigam relacionar a matemática do ambiente escolar ao seu cotidiano.

Na proposta pedagógica, foram planejadas quatro tarefas, das quais uma foi realizada na aula de atendimento, que ocorre no turno vespertino, com os alunos que encontram mais dificuldades nas aulas de matemática. Essas aulas acontecem para diminuir e esclarecer as dúvidas adquiridas em sala, em que o professor pode atender a um aluno por vez. Ao final de cada tarefa, foram discutidas as estratégias utilizadas para a sua resolução. Apresentaremos as tarefas no Quadro 1, a seguir:

Ao final das tarefas, foram analisadas as informações e as respostas dadas pelos alunos. Destacamos que, em cada tarefa, deixamos a cargo do aluno a estratégia para a sua resolução; porém, todos os problemas poderiam ser resolvidos com a multiplicação de matrizes, conteúdo desenvolvido durante esta intervenção. Neste texto, enfocaremos o problema 4, intitulado “Programa de dieta e exercícios para a perda de peso”.

Programa de dieta e exercícios para a perda de peso

Apresentamos, a seguir, a tarefa chamada “Programa de dieta e exercícios para a perda de peso (Figura 1):

Propusemos aos alunos que resolvessem um problema que envolvia Fernando com o peso de 73 quilos, que queria perder peso e procurou ajuda especializada, que montou um programa de exercícios. Para o programa de exercícios, são construídas duas tabelas. A primeira descreve a quantidade de calorias perdida durante os exercícios físicos. A segunda tabela contém a quantidade de horas e quais exercícios foram feitos a cada dia da semana. Ao final da atividade, é pedido para que os alunos indiquem o total de calorias perdidas a cada dia da semana, e o total de calorias ao término da semana.

A tarefa foi entregue aos alunos e pedimos para que cada um fizesse individualmente, pois queríamos compreender e analisar quais estratégias foram utilizadas ao final da resolução. Destacamos, também, que deixamos a cargo do aluno a escolha da estratégia, não influenciamos as respostas obtidas por eles. O objetivo era compreender se as respostas dadas por eles apresentavam explicitamente a multiplicação de matrizes, conteúdo que estava sendo desenvolvido durante as aulas.

Na resolução da tarefa, observamos que poucos alunos ainda encontraram dúvidas sobre a interpretação do problema. Ao final da aula, a maioria dos alunos havia terminado e estava faltando apenas uma minoria que encontrou dificuldade com a multiplicação dos números racionais.

Os questionamentos dos alunos durante a resolução da tarefa

Ressaltamos a compreensão da modelagem matemática, defendida por Caldeira (2007, p. 82), que a concebe “como um processo de obtenção e validação de um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam um objeto estudado”. Nessa perspectiva, destacamos que, durante o desenrolar da tarefa “Programa de dieta e exercícios para a perda de peso”, não foi feita a leitura com os alunos para que houvesse a possibilidade dos estudantes interpretarem o problema, de forma a obterem as relações matemáticas necessárias para a sua solução. Alguns alunos, ao fazerem a leitura, começaram a fazer perguntas sobre a atividade (Figura 2).

Identificamos que a principal dúvida foi sobre qual a matriz deveria ser utilizada para a multiplicação, se deveriam utilizar a primeira matriz inteira dos pesos, ou se poderiam apenas utilizar a matriz linha do peso de Fernando. Para este momento, pedimos que os alunos lessem novamente o problema e identificassem o que foi pedido para a sua resolução. Com isso, aqueles com dúvidas conseguiram perceber que, mesmo se utilizassem a matriz inteira, era possível chegar ao resultado solicitado no problema.

Reflexão crítica das respostas apresentadas pelos alunos

A análise das repostas dos alunos se deu pelo que é indicado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), que ressaltam a importância do professor compreender a apropriação do conhecimento dos alunos e relacioná-la com o seu cotidiano.

A atividade matemática não é olhar para coisas prontas e definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade. O ensino da Matemática deve relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras) e também relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, deve favorecer conexões com outras disciplinas, com o cotidiano do aluno e também conexões com os diferentes temas matemáticos. O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução. Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. (BRASIL, 1997, p. 19).

Ressaltamos, novamente, que deixamos a cargo do estudante a escolha da melhor forma para resolver o problema, já que estávamos em busca da compreensão de como se deu a aprendizagem dos conceitos de matrizes. Destacamos que uma das possíveis formas de solução do problema era utilizando a multiplicação de matrizes. Na Figura 3, a seguir, apresentamos a resposta da aluna identificada como IN.

Identificamos que a aluna utilizou a relação linha e coluna da multiplicação de matrizes, na qual ela utilizou a 73 das calorias perdidas durante os exercícios físicos propostos pela equipe de saúde, e multiplicou com cada dia da semana em que eram feitos os exercícios físicos. Entendemos que a estudante utilizou a multiplicação de matrizes em sua reposta e depois somou todos os dias da semana para obter o resultado total de calorias perdidas ao longo da semana. Com isso, questionamos sobre a estratégia utilizada para a resposta e ela descreveu seu método, como pode ser visto na transcrição do caderno da estudante a seguir, na Figura 4:

No entanto, ao verificamos a descrição da resposta, constatamos que a aluna utilizou a relação da propriedade de multiplicação de matrizes de forma inconsciente, porém ela não percebeu esta relação em sua resolução. Todavia, destacamos que a estudante conseguiu interpretar o problema, sua resposta estava correta e a estratégia utilizada resultou na resolução da questão. Por conseguinte, analisamos sua resolução, compreendemos que ela desenvolveu esta atividade com conhecimentos adquiridos ao longo dos anos, como operações de multiplicação e soma. Entendemos, também, que a interpretação do problema contribuiu para o desenvolvimento da atividade.

Outra resposta foi dada pela aluna identificada como LM, apresentada na Figura 5, a seguir. Nela percebemos que a estudante fez a associação de cada caloria perdida durante a atividade com os horários dos exercícios práticos durante a semana. Além disso, é perceptível que, ao final, ela somou os resultados e obteve todas as calorias perdidas ao longo da semana.

Analisamos que a aluna não fez o uso de multiplicações de matrizes em sua resolução; no entanto, conseguiu finalizar o exercício corretamente. Verificamos que ela concluiu a atividade fazendo a propriedade associativa da multiplicação e, em seguida, fez o uso da adição. Compreendemos que a intepretação do problema fez a total diferença para sua resolução, em que a aluna identificou uma estratégia utilizada em seu cotidiano.

Ao final da resolução da tarefa, fizemos uma discussão sobre o que o enunciado informava e pedia. Com isto, percebemos como os estudantes interpretaram o problema. Em seguida, discutimos sobre as estratégias escolhidas por cada aluno e identificamos que uma minoria declarou que não utilizou a operação multiplicação de matrizes.

Por fim, destacamos uma última resposta. Ela foi escrita pela aluna identificada como AJ e pode ser vislumbrada na Figura 6, a seguir:

Nessa resposta, é evidente que a estratégia, utilizada pela aluna, baseou-se no uso da matriz linha, correspondente ao peso de Fernando, e a multiplicação desta pela matriz coluna de cada dia da semana. Ressaltamos que a estudante conseguiu interpretar o problema e relacionar o conteúdo desenvolvido em sala de aula para a escolha da estratégia. Para a conclusão, ela somou as colorias perdidas durante cada dia da semana. O método utilizado pela estudante foi associado ao ensino de matrizes e atendeu às expectativas de aprendizagem para a tarefa. Assim, evidenciamos que os alunos conseguiram interpretar o problema e fizeram o uso de estratégias empregadas em seu cotidiano. Mencionado este aspecto no debate e sala de aula, discutimos sobre a sua estratégia escolhida e identificamos a relação linha por coluna que é uma propriedade de matrizes. Apontamos para os alunos esta relação e eles perceberam que fizeram o uso do conteúdo apresentado em sala de aula.

Considerações finais

Neste relato de experiência, constatamos que os alunos ficavam mais participativos quando eram expostos problemas no quadro e eram discutidas quais as maneiras para se chegar à resolução. Com isso, as explicações do conteúdo aconteciam por meio de resolução de problemas.

Com a análise das respostas apresentadas pelos alunos e as discussões feitas ao final da tarefa, destacadas na seção anterior, constatamos que a interpretação dos estudantes acarretou em um crescimento positivo no processo de aprendizagem dos conhecimentos algébricos. Verificamos, também, que a Modelagem Matemática proporcionou aos alunos o estabelecimento das relações do conteúdo com o seu cotidiano e, com isso, os estudantes despertaram um olhar diferenciado para a disciplina de matemática.

Portanto, averiguamos que o fator significativo para aumentar o interesse dos alunos foi a Modelagem Matemática, que contribuiu para o desenvolvimento crítico do conhecimento matemático e para a autonomia dos alunos. A metodologia escolhida causou impactos positivos, pois oportunizou aos alunos, experiências nas quais eles colaboraram entre si e com a professora no processo de aprendizagem. Isso permitiu para nós, docentes, a possibilidade de um olhar diferenciado sobre a prática desenvolvida em sala de aula.

Referências

BARBOSA, J. Modelagem matemática e os futuros professores. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 26. 2003, Caxambu. Anais [...] Caxambu: ANPED, 2003.

BRASIL. PCN + Ensino médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, 2002.

CALDEIRA, A. D. Etnomodelagem e suas relações com a educação matemática na infância. In: BARBOSA, J., CALDEIRA, A.; ARAÚJO, J. (Org.). Modelagem matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM. p. 81-97, 2007.

FONSECA, M.; CARDOSO, C. Educação Matemática e letramento: textos para ensinar Matemática, Matemática para ler o texto. In: NACARATO, A.; LOPES, C. Escritas e Leituras na Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, p. 63-76, 2005.

SANCHES, M. Efeitos de uma estratégia diferenciada dos conceitos de matrizes. 2002. Dissertação (Mestrado em educação matemática). UNICAMP, São Paulo, 2002.

SILVEIRA, E.; CALDEIRA, A. Modelagem na Sala de Aula: resistências e obstáculos. Bolema, Rio Claro, v. 26, n. 43, p. 1021-1047, ago. 2012 . Disponível em: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2012000300012&lng=pt&nrm=iso. Acesso em 08 set. 2020. http://dx.doi.org/10.1590/S0103-636X2012000300012

SOUSA, M.; PANOSSIAN, M.; CEDRO, W. Do movimento lógico e histórico à organização do ensino: o percurso dos conceitos algébricos. Campinas, SP: Mercado das letras. 2014.