O Ensino de Matemática na Educação Básica da Rússia na Perspectiva de Leonid Zankov*A publicação do texto deste capítulo foi autorizada pela autora. Agradecemos a intermediação de André Luiz Araújo Cunha junto à autora para a obtenção do texto e a colaboração de Alcides Hermes Thereza Júnior em partes da tradução do inglês para o português (Nota dos Organizadores). Tradução de José Carlos Libâneo e Sandra Valéria Limonta Rosa.

Leonid Zankov (1901-1977)1Zankov é um conhecido psicólogo e pedagogo nascido em Varsóvia (Polônia) em 1901, filho de um oficial do exército russo. Fez estudos secundários em Moscou e, em seguida, tornou-se professor. Entre 1922-1925 estudou na Faculdade de Ciências Sociais da Universidade Estatal de Moscou onde conheceu Vygotsky, integrando-se em pesquisas sobre a memória. Fez sua pós-graduação sob orientação de Vygotsky no Instituto de Psicologia da Universidade Estadual de Moscou, realizando estudos sobre a mente e sobre características onde, sob a orientação do mesmo Vygotsky, começou a estudar a mente e características do treinamento de crianças excepcionais. Daí em diante, passou a desenvolver um sistema de desenvolvimento global dos alunos denominado Sistema Zankov, ainda em uso no sistema educacional russo (NT)., acadêmico, doutor em psicologia, trabalhou no Instituto de Teoria e História da Academia Russa de Ciências Pedagógicas. Foi chefe do "Laboratório de educação e desenvolvimento social" e, mais tarde, em 1968, designado por “Laboratório para problemas de ensino e desenvolvimento de alunos em idade escolar". Zankov esteve entre os primeiros e mais próximos discípulos do psicólogo russo Lev Vygotsky. Este pesquisador estudou as relações entre ensino, aprendizagem e desenvolvimento infantil e concluiu que o ensino e a aprendizagem conduzem ao desenvolvimento da criança. Especialmente, descreveu um conceito excepcionalmente importante, a zona de desenvolvimento proximal.

Zankov foi o primeiro a testar as teorias de Vygotsky realizando pesquisas experimentais nas escolas primárias da Rússia. Seu objetivo era determinar a natureza e o grau de influência dos métodos de ensino no desenvolvimento geral dos alunos das séries do ensino primário2O ensino primário na Rússia e na maior parte dos países europeus, corresponde ao nível de ensino que, no Brasil, se designa primeira fase (ou Anos Iniciais) do Ensino Fundamental. Ensino secundário, nesses países, refere-se ao que, no Brasil, se designa Anos Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio (Nota dos organizadores).. Nos anos iniciais dessas pesquisas (1957-1961), foi criado um novo sistema de ensino e seus princípios foram incorporados em métodos concretos para o processo de instrução e educação no ensino primário. Em 1961, após a criação de novos programas de ensino, métodos, técnicas e materiais didáticos, o Laboratório iniciou amplos experimentos.

O objetivo da educação escolar elementar no sistema de Zankov é o desenvolvimento geral de uma criança, que consiste no desenvolvimento de vários lados da psique da criança. Inclui o intelecto, o desejo e a emoção. O significado do ensino deriva do fato de que ele cria a zona de desenvolvimento proximal, isto é, estimula o interesse da criança no ambiente que, por sua vez, desperta processos internos de desenvolvimento.

No sistema de Zankov, o desenvolvimento é alcançado através da realização de muitos componentes que constituem este sistema (ZANKOV, 1977). O papel de direção e regulação no sistema é desempenhado por seus princípios didáticos. Esses princípios são: a) Ensinar em um nível adequado de dificuldade; b) Enfatizar o conhecimento teórico; c) Avançar em ritmo rápido. d) Desenvolver a consciência dos alunos em relação ao processo de aprendizagem; e) Promover o desenvolvimento intencional e sistemático de cada aluno.

a) Ensinar em um nível adequado de dificuldade

Zankov diz que “deve-se conduzir o ensino em um nível adequado de dificuldade”, pois somente “o ensino que fornece sistematicamente material para atividades mentais complexas serve ao desenvolvimento rápido e intensivo de crianças” (1977). O desenvolvimento dos alunos mover-se-á lentamente a não ser que a aprendizagem inclua a superação de dificuldades que criam tensão mental. Superar as dificuldades na zona de desenvolvimento proximal fortalece as crenças dos alunos em relação às suas próprias habilidades. Um nível adequado de dificuldade se distingue não apenas pelo fato ultrapassar a norma média de dificuldade, mas principalmente porque revela os poderes intelectuais da criança e dá a ela foco e direção. Por exemplo, o professor está ensinando sobre a diagonal de um retângulo. Ele está desenhando o retângulo e sua diagonal, então pede aos estudantes: - por favor, deem a definição da diagonal de um retângulo.

b) Enfatizar o conhecimento teórico

Dentro do sistema de educação de Zankov, os alunos são encorajados a fazer livremente observações sobre o material em estudo. O papel do professor é chamar a atenção dos alunos para estruturas e conexões que aparecem no conteúdo e exigir que eles deduzam e expliquem a natureza das relações entre conceitos. A prática escolar mostra que as crianças gostam muito de trabalhos com pesquisa, gostam de descobrir conexões e tirar conclusões com base em suas próprias observações. Por exemplo, numa atividade sobre as propriedades físicas da água.

c) Avançar em ritmo rápido

Ritmo rápido e conteúdo variado atendem às necessidades intelectuais das crianças. Suas mentes são melhor estimuladas mais pela variedade do que pela repetição e treinos, como Zankov observou: “Concentrar-se em repetições intermináveis e a monotonia da revisão excessiva produz preguiça mental, apatia espiritual e serve para obstruir mais do que facilitar o desenvolvimento”. Ritmo rápido de estudo no sistema de Zankov não significa pressa em aprender ou se apressar durante as aulas. É impossível pedir à mente de uma criança: "cresça mais rápido!" O sistema não pretende forçar o desenvolvimento. O objetivo é criar condições favoráveis para despertar e desenvolver o potencial do aluno. Zankov costumava usar a frase "correr sem pressa".

No modelo de Zankov, a revisão e a repetição são obtidas sutilmente incorporando conteúdo novo ou mais desafiador. Dessa maneira, que os educadores russos chamam de técnica do "bolo em camadas", não há interrupção do conteúdo nem do momento de aprendizagem. O material previamente aprendido é, assim, reintroduzido com novos conteúdos, permitindo que os alunos observem o familiar sob uma nova luz, mesmo quando exploram um terreno não familiar. O conhecimento prévio é integrado ao que vem a seguir e torna-se sincrônico com o conjunto de conhecimento em expansão dos alunos. O curso se desenvolve em espiral: há uma constante mudança do objeto de estudo e, ao mesmo tempo, um retorno constante a ele em uma nova etapa e em uma nova base de conhecimento. Chamamos isso de princípio concêntrico da disposição do material educacional.

Desse modo, ao invés de acumular pedaços isolados de informação, o aluno ganha um sentido adequado da “relação integral entre os elementos, da diversidade e da versatilidade dessas relações, para assegurar que tal conhecimento esteja firmemente estabelecido na memória” (VYGOTSKY, 1991). Aqui, novamente Zankov recorre a Vygotsky que acreditava que “o benefício psicológico deriva da apresentação de tarefas de revisão e repetição de tal modo que sejam amplamente divididas ao invés de atividades concentradas”. (Id. Ib.)

d) Desenvolver a consciência dos alunos em relação ao processo de aprendizagem

Este princípio é direcionado para dentro, ou seja, em direção à conscientização dos alunos sobre o processo de aprendizagem que ocorre dentro deles. É uma consciência de seu conhecimento prévio e o que agora está sendo aprendido durante o processo de estudo um determinado assunto, fenômeno ou relato. Como os conhecimentos a serem aprendidos estão ligados entre si? Quais são os vários aspectos a serem considerados no domínio da ortografia ou das operações computacionais? Qual é o mecanismo subjacente aos erros e à prevenção de erros? Essas e muitas outras questões relacionadas ao domínio do conhecimento e das habilidades são objeto da atenção incansável dos alunos.

A educação não consiste apenas em aprender sobre os fatos, é um processo de aprofundamento da nossa humanidade e de equipar as crianças para ajudar na formação da sociedade e do nosso mundo. Sabe-se que a ética da atitude para com as pessoas e a ética da atitude em relação aos animais têm a mesma base psíquica - a capacidade de empatia. Os anos iniciais do ensino fundamental são um período de intensa descoberta do mundo e da natureza, acumulação de conhecimentos e conceitos, e o desenvolvimento de relações multifacetadas para tudo ao redor. As lições integradas contribuem para isso. Elas implementam diferentes níveis de conexão - 3A expressão “meta-conteúdo”, isto é, para além do conteúdo da disciplina, é a tradução sugerida para “meta-subject”. A escola não deve ensinar apenas conhecimento, mas centrar-se em atividades de trabalhar com conhecimento. Mais do que ensinar conteúdos, significa apropriar-se dos modos gerais de resolver problemas ligados aos conteúdos, de modo que o domínio de um conteúdo propicie um meio de ação interior do aluno. Pode-se dizer que alcançar “meta-subject” significa transitar do currículo fragmentado em disciplinas para uma visão integrada dos conteúdos. Dependendo da maneira como o professor organiza as atividades escolares, habilidades mentais podem ser formadas ultrapassando o conteúdo específico trabalhado, por exemplo, na disciplina Matemática, a noção de números, conforme se verá adiante (Notas dos organizadores)., interdisciplinar, conteúdo da disciplina. Por exemplo, todas as aulas de Arte proporcionam uma estreita conexão com a música, a literatura e a natureza, o que contribui para o clima emocional e percepção profunda do mundo que nos rodeia.

É, assim, de grande importância a capacidade do professor de integrar o conteúdo dos programas educacionais durante o planejamento das aulas. Isso assegura a interconexão de todas as aulas e a integridade do processo educacional. Consideremos brevemente a implementação da abordagem integrada na formação do conceito de “metamorfose”, mais especificamente, “metamorfose da borboleta”. No 1º ano do Ensino Fundamental, na aula de literatura russa, o professor apresenta o conto de fadas de V. Berestov “A lagarta honesta”. Em sua apresentação, ele começa com um enigma: “sou um verme e como uma folha. Em breve vou me enrolar num cobertor e adormecer, não vou comer e nem olhar, apenas me deitarei imóvel. Mas, de repente, eu vou voltar à vida e sair de casa”. Algumas crianças descobrem imediatamente que o mistério é sobre a lagarta, que se transforma em borboleta. O descrito no conto de fadas das transformações de V. Berestov despertou grande interesse entre as crianças. Decidimos estudar metamorfose.

Nas lições de ciências naturais e história, os alunos aprenderam mais sobre lagartas e borboletas e o conceito de "metamorfose". Descobriram que a palavra “metamorfose” vem de uma palavra grega antiga e significa “transformação”. Logo os alunos estavam lendo a definição de "metamorfose" em dicionários e em vários livros de referência. Ficamos convencidos de que, durante a metamorfose das borboletas no processo de transformação, as formas do inseto mudam e ficam completamente diferentes uns dos outros. Do ovo redondo aparece uma longa lagarta com muitas pernas. Troca um pouco sua cor várias vezes e, na muda, se transforma numa crisálida quase oval. Uma borboleta surge da crisálida - um inseto adulto alado com seis patas, tal como descrito no conto de fadas de V. Berestov.

Numa aula de Arte, após assistirem a um vídeo sobre o processo de desenvolvimento das borboletas os alunos, usando plasticina, criaram imagens de ovos que as borboletas colocam e as colocaram nas folhas de plasticina. Então as lagartas "nascidas" desses "ovos" foram esculpidas. Os alunos leram muito sobre lagartas e borboletas, seus diferentes tipos, aprenderam sobre as maiores, as menores e as mais belas. Criaram as estampas e coloriram livros de borboletas. As crianças inventaram borboletas fantásticas com uma coloração incomum. Neste caso, foi utilizada a técnica monotípica

Assim, todas as aulas ajudaram a formar o conceito de “metamorfose da borboleta” e ideias claras sobre seus estágios.

Numa aula no zoológico, as crianças podem observar os animais ou assistir a um vídeo sobre os animais. Eles podem escolher um animal, por exemplo, um porco-espinho, e observá-lo. Em seguida, pesquisam as informações em livros e enciclopédias, aprendendo sobre o quanto é importante o porco-espinho, e como é importante protegê-lo. Nas aulas de arte, as crianças criam uma imagem desse animal, usando uma massa salgada e, posteriormente, a colorem.

A formação e o desenvolvimento de conceitos é um processo longo no qual o conceito é enriquecido por todas as novas características, com constante introdução de um novo conhecimento, sua compreensão e conexão com o conhecimento existente.

e) Promover o desenvolvimento intencional e sistemático de cada aluno

O sistema de Zankov aceita cada criança do jeito que ele/ela é, com suas próprias peculiaridades e caráter. Zankov acreditava em todas as crianças e em suas potencialidades. Todas as atividades do professor nesse sistema são direcionadas para a realização das potencialidades intelectuais dos alunos e o desenvolvimento de suas disposições e inclinações. O processo de desenvolvimento pode ser lento, pode ser desigual por várias razões, por experiências psicológicas pessoais. No entanto, em sua opinião, os alunos fracos e fortes devem aprender juntos. Segundo Zankov, a aula é uma aprendizagem coletiva em que, dada a organização adequada das atividades, cada aluno traz uma contribuição única e valiosa para a vida comum da classe. Quando se agrupam alunos fracos, lhes é negado o enriquecimento resultante do trabalho em conjunto com alunos mais fortes. Além disso, tais arranjos tendem a diminuir o autoconceito e a autoestima do aprendiz (ZANKOV, 1967).

Na mesma linha, o mentor de Zankov, Vygotsky, escreveu: “uma característica notável de se obter operações cognitivas avançadas é que a aquisição de tais funções no desenvolvimento de uma criança ocorre duas vezes. Primeiro, por meio da atividade coletiva ou social e, segundo, por meio da atividade independente do próprio processo de pensamento da criança” (Id. ib.)

Condições para aprendizagem e desenvolvimento

O pensamento das crianças começa com uma perplexidade. Uma centelha de pensamento é emocionalmente carregada. Vygotsky escreveu:

[...] um fato emocionalmente carregado é lembrado mais fácil e mais firmemente do que aquele em relação ao qual uma criança é indiferente. Se quisermos obter uma maneira melhor de aprender e pensar por parte do aluno, devemos nos certificar de que afetamos seus sentimentos. Reações emocionais devem ser a base no processo de educação social. Um momento de agitação ou preocupação deve servir como ponto de partida em qualquer atividade” (Id.).

Portanto, se o objetivo é melhorar o aprendizado e o raciocínio do aluno, seus sentimentos devem estar envolvidos no processo. "O conteúdo do currículo", observou Vygotsky, "deve envolver os alunos em um nível ativo" (Id.)

No entanto, uma criança só fica perplexa e emocionalmente envolvida se ela se sentir confortável, quando os relacionamentos entre o professor e os alunos são verdadeiros, amigáveis e calorosos. Consequentemente, a atmosfera de confiança e cuidado promove o desenvolvimento da autoestima, da autoaceitação, da vontade forte e da crença em suas habilidades. Em tais condições, mesmo o aluno mais fraco, desde que haja apoio dos colegas e do professor, participa do trabalho criativo conjunto.

Isso requer uma atmosfera de encorajamento e simpatia. Somente nesse contexto é que o aluno adquire o autorrespeito e confiança necessários para trazer ideias, resolver problemas e apresentar explicações. Em um ambiente de aprendizado tão receptivo, até o aluno mais hesitante contribuirá prontamente para os esforços criativos conjuntos da classe. Assim, uma atmosfera propícia à aprendizagem, na qual os alunos desfrutam de simpatia e de uma sensação de conforto, é uma característica necessária do sistema de Zankov.

O ensino de números

L. Zankov definiu como principal tarefa da educação proporcionar à criança a visão ampla e integrada do mundo por meio da ciência, da arte e do conhecimento direto. Para isso, é importante prestar muita atenção na construção de um processo educacional, à seleção do conteúdo, aos princípios, técnica e métodos de ensino. É importante propiciar atenção especial ao mundo interior da criança - sua idade e características individuais, suas necessidades e interesses. A base material do desenvolvimento geral é o conteúdo, que consiste de fatos e fenômenos em suas conexões essenciais.

Os objetivos do ensino de matemática são alcançados no processo de compreensão da conexão entre a necessidade de descrição e explicação dos objetos, processos e fenômenos no mundo circundante e a oportunidade de fazê-lo, usando relações quantitativas e espaciais. O curso da matemática inclui várias direções: aritmética, álgebra, geometria e a história da matemática.

Durante as aulas, os alunos descobrem relações objetivamente existentes com base na noção de números. Recontando o número de itens e denotando esse número por dígitos, as crianças vão adquirindo um “meta-conteúdo” em relação às habilidades de contagem.

Números inserem-se em ações; apresentam os resultados das medições (comprimento, massa, peso, área, tamanho, capacidade, tempo); expressam as dependências entre componentes em problemas, etc; os números ajudam a caracterizar e construir figuras geométricas; estabelecer as propriedades das operações aritméticas, introduzir conceitos algébricos: expressão, equação, desigualdade. A história da matemática e a origem dos números dá o conhecimento sobre sistemas numéricos modernos e históricos, cria uma visão da matemática como uma ciência.

As lições 2 a 4 são dedicadas à comparação de assuntos de acordo com seu número, forma, cor e tamanho. Os alunos aprendem que, na comparação, sempre precisamos encontrar primeiro o que é semelhante e, depois, o que é diferente.

Os objetos podem ser comparados por seus números.

Onde há muitas cerejas - na árvore à direita ou na árvore esquerda?

Onde há algumas cerejas?

Compare as cestas. Em que são semelhantes? Em que são diferentes?

O que mais podemos comparar nesta página usando as palavras: muito, pouco, mais ou menos?

Os objetos podem ser comparados por suas formas.

Quantas caixas de areia estão na foto?

Compare as caixas de areia acima. Em que são parecidos? Em que são diferentes?

Em qual caixa de areia há muita areia?

Compare as caixas de areia na parte inferior de acordo com suas formas e a quantidade de areia em cada uma delas. Compare as caixas de areia à direita. Compare as caixas de areia à esquerda. Quantas caixas de areia redondas estão na foto? Quantas caixas de areia quadradas estão na foto?

Em que objetos você pode ver o quadrado, o círculo, o triângulo? Nomeie esses objetos.

Desenhe círculos no caderno onde houver caixas de areia redondas e quadrados onde houver caixas de areia quadradas.

Por meio de todos os exercícios, as crianças comparam, analisam e tiram conclusões.

Exercício. Encontre linhas semelhantes.

Exercício. Onde há mais quadrados, à direita ou à esquerda?

Onde há menos?

Quantos quadrados estão à direita? Quantos estão à esquerda?

Exercício. Compare estas duas figuras

São semelhantes uma com a outra? Como se chama a figura da esquerda? Como se chama a figura da direita?

Oito exercícios depois: Compare essas duas figuras. Elas são semelhantes?

Como se chama a primeira figura? E a segunda?

10 exercícios depois: A partir destas formas, escolha duas semelhantes.

Essas formas são parecidas? Ou diferentes?

Por que a terceira forma não se encaixa nas duas formas que você escolheu?

8 exercícios depois: compare duas formas.

Em que são semelhantes? Em que são diferentes?

Exercício. Compare as formas. Como são chamadas? Alguém poderia dizer que têm a mesma forma? Por que não?

Exercício. Compare as formas. Em que são semelhantes? Em que são diferentes?

Quais são as duas formas mais parecidas uma com a outra? Em que a terceira forma é diferente das outras duas?

Exercício. Das três formas abaixo, escolha duas que são semelhantes.

Em que são semelhantes? Em que são diferentes? Em que uma figura é diferente das outras duas?

Exercício. Escolha duas formas semelhantes.

Quão parecidas são as formas escolhidas? Quão diferentes são eles?

Por que a terceira forma não se encaixa nos escolhidos?

No currículo de matemática do sistema Zankov, há uma forte ênfase na geometria. As propriedades geométricas das figuras apelam naturalmente para a imaginação vívida dos jovens aprendizes. Todo o trabalho em sala de aula e exercícios são direcionados para o estabelecimento de propriedades matemáticas de figuras geométricas.

Exercício.

Desenhe esta figura no seu caderno.

Conte o número de quadrados. Ao contar, leve em consideração quadrados de tamanhos diferentes.

Mais tarde, os alunos estão contando os quadrados nessas figuras.

Olhe atentamente para a figura.

Quantos triângulos estão nele? Desenhe esta figura.

Mais tarde. Considere esta figura.

Quantos triângulos estão nesta figura?

No total, quantas formas existem? Esboce esta figura em seu caderno.

Copie esta figura.

Quantos triângulos estão na figura? Registre esse número.

Quantas formas existem nessa figura? Registre esse número.

Quantas formas existem nesta figura?

Que formas você achou? Desenhe a mesma figura.

Copie esta figura.

Anote quantos triângulos você encontrou, quantos quadriláteros (quadrângulos) você encontrou e quantas formas existem no total.

Além dos livros didáticos, há livros adicionais para os alunos de primeiro e segundo anos. São os cadernos "Jogos matemáticos" (1º ano) e "Material de jogo" (2º ano). As tarefas são projetadas para desenvolver conhecimentos e habilidades sobre os principais conteúdos e para desenvolver a atenção e as habilidades de observação.

Exercício.

a) Escreva as somas dos números em cada linha desse quadrado.

b) Anote as somas dos números em cada coluna.

c) Anote as somas dos números de canto a canto.

d) Calcule todas as quantias escritas. O que você percebe?

Você sabe como esse quadrado é chamado? Como você chamaria isso? (Na matemática eles são chamados quadrados mágicos).

e) Aumentar cada número deste quadrado em um e no mesmo número. Verifique se você recebe um quadrado mágico.

Exercício.

a) Pense em como verificar se esse quadrado é mágico:

b) Este método é correto: é preciso somar todos os números em cada linha? Explique sua resposta.

O que você acha desse método: é preciso somar todos os números em todas as colunas?

c) Faça todos os cálculos necessários. O que você vê? Você precisou encontrar todas as somas para responder a essa pergunta? Por quê?

d) Tente fazer esta magia quadrada. Explique como você fez isso.

Exercício.

a) Componha esta figura:

Substitua 3 varas para obter 5 quadrados.

b) Desenhe esta figura, aponte para as varetas que você substituiu e desenhe a solução.

Exercício.

a) Construa a figura:

Mova 4 varas para obter 5 quadrados.

b) Encontre soluções diferentes. Desenhe as soluções.

Resolvendo problemas interessantes, adivinhando quebra-cabeças e enigmas, restaurando e observando imagens desconhecidas em detalhes, os alunos realizam adição e subtração dentro de cem, repetem os casos tabulados de multiplicação e divisão, determinam a ordem de ações em expressões com duas ou três ações. Na forma de jogo, as habilidades computacionais necessárias para assimilar o material educacional são fixadas.

As atividades dos próprios alunos são o centro didático de qualquer aula no sistema de Zankov. Os alunos não apenas resolvem e discutem vários problemas, mas também observam, comparam, agrupam, classificam, explicam e chegam a conclusões. São eles que trabalham com o material estudado e o transformam.

Referências

ARGINSKAIA, I. I.; BENENSON, E. P.; ITINA, L. S.; KORMISHINA, S. N. Mathematics. Grade 1. Samara: Fedorof, 2014.

ARGINSKAIA, I. I.; BENENSON, E. P.; ITINA, L. S.; KORMISHINA, S. N. Mathematics. Grade 2. Samara: Fedorof, 2014.

GUSEVA, L. G.; SOSNOWSKI, A. N. Russian education in transition: trends at the primary level. Canadian and International Education. 1997, v. 26, n. 1, p. 14-31. URL: http://ir.lib.uwo.ca/cie-eci/vol26/iss1/3

ZANKOV, L. V. et al. Teaching and development, New York: M.E. Sharpe Inc., 1977.

ZANKOV, L. V. “Dvoechnik stanovitsia otlichnikom (Weak Student Becomes Excellent),” Literaturnaia gazeta (Literary Newspaper), 1967, No. 42.

VYGOTSKY, L. S. Pedagogicheskaia psikhologiia (Educational Psychology), Moscow: Pedagogika, 1991, p. 385.