Professores dos Anos Iniciais em Formação e a Compreensão das Operações de Adição e Subtração a Partir dos Pressupostos do Ensino Desenvolvimental

1. Introdução

A investigação que deu origem a esse capítulo foi desenvolvida no contexto da formação de professores que ensinam Matemática, acerca do modo de organização do ensino dessa ciência nos anos iniciais do Ensino Fundamental com base nos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural. A partir dessas conjecturas elaborou-se uma proposta de organização dos conceitos matemáticos, que fora desenvolvida no âmbito da disciplina “Conteúdos e processos de ensino de Matemática” ofertada no 4º período da Licenciatura de Pedagogia da Universidade Estadual de Goiás – Campus Quirinópolis. O desenvolvimento de tal disciplina se tornou o contexto empírico do experimento formativo, que sustentado no materialismo histórico dialético se fez caminho para o incremento do movimento conceitual proposto pela base teórica adotada para a operacionalização do sistema de numeração – aqui compreendido em suas diferentes bases numéricas, na especificidade da adição e da subtração.

Essa proposta formativa possuía dentre seus objetivos a aprendizagem de conceitos matemáticos a partir de uma organização do ensino que privilegiasse a lógica interna existente nesses conceitos. Dentre tais objetivos elencamos o propósito de compreender as operações de adição e subtração a partir da compreensão do sistema de numeração.

A opção pela apreensão de como ocorreu a aprendizagem das operações de adição e subtração a partir da compreensão da estrutura interna do sistema de numeração ocorreu pela concepção de que, a partir de tal entendimento podemos contribuir para a reflexão sobre o atual modo de organização do ensino de Matemática nas séries iniciais, como recomendam pesquisadores como Madeira (2012), Rosa, Damazio e Alves (2013), Rosa, Damazio e Silveira (2014), entre outros. Tais pesquisadores aconselham que o ensino de Matemática no Brasil - em especial nas séries iniciais do Ensino Fundamental - deve contemplar em suas proposições a conexão dialética, premissa necessária para a objetivação do materialismo histórico dialético como método de pesquisa e do experimento formativo como escolha metodológica para alcance de nosso objetivo.

Para que possamos ter compreensão do desenvolvimento das ações que constituíram nossa investigação, inicialmente exporemos uma discussão sobre o método (materialismo histórico dialético) e a metodologia (experimento formativo) escolhidos.

MÉTODO E METODOLOGIA: postura e caminho do investigador no desenvolvimento da pesquisa

Fazer a escolha do materialismo histórico dialético como método de pesquisa pressupõe escolher um método de conhecimento que “permite a interpretação do movimento entre os acontecimentos produzidos historicamente - a realidade objetiva - e o desenvolvimento do pensamento” (PANOSSIAN, 2014, p. 79). A adoção por este método na presente pesquisa, se deu por entendermos que, por meio dele, é possível uma melhor compreensão da realidade a qual investigamos, ou seja, a apropriação conceitual das operações de adição e subtração a partir do entendimento da estrutura interna do sistema de numeração por um grupo de licenciandas em Pedagogia. Mas, como reproduzir no pensamento o processo de conhecer o objeto de investigação? Segundo Kosik (1995, p. 35) “a distinção entre a representação e conceito, entre o mundo da aparência e o mundo da realidade, [...] é o modo pelo qual o pensamento capta a coisa em si. Esse modo se realiza por meio do método de ascensão do abstrato ao concreto, pois este é o método do pensamento”.

Na busca de melhor compreender os processos que envolvem o ensino e a aprendizagem das operações de adição e subtração, a partir da compreensão da estrutura interna do sistema de numeração por um grupo de professoras dos anos inicias em formação, planejamos e desenvolvemos com elas um experimento formativo durante um semestre letivo (com 4 aulas semanais). Segundo Davydov e Markova (1987, p. 326) o experimento formativo “é uma forma fundamental da realização das particularidades do método geral genético-causal ou genético-modelador, [...] sendo uma estrutura de investigação do desenvolvimento da psique humana, que possui suas bases nos trabalhos de Vigotski”. Ele considerava que somente por intermédio da análise experimental seria possível revelar a essência do processo genético de desenvolvimento da psique humana e que esse tipo de investigação seria a “chave para a compreensão do processo pelo qual a formação do conceito se desenvolve na vida humana real” (VIGOTSKI, 2003, p. 86).

A essência do experimento formativo encontra-se “[...] no estudo dos processos e novas formas da psique, no estudo das condições do surgimento das condições necessárias para que surjam” (DAVYDOV, MARKOVA. 1987, p. 326). Nesse entendimento, seria ele como uma “projeção e modelação do processo de desenvolvimento” (DAVYDOV, MARKOVA, 1987, p. 326) humano.

Nesse caminho de conhecer e compreender o fenômeno que ali se desenrolava, gravamos toda a carga horária da disciplina (64h\a), ou seja, todo o experimento formativo foi registrado de forma áudio visual. Tais gravações foram transcritas na íntegra e se tornaram nosso universo de dados da pesquisa que posteriormente, seriam analisados para que alcançássemos o objetivo desse artigo que é compreender como ocorreu a aprendizagem das operações de adição e subtração a partir da compreensão da estrutura interna do sistema de numeração.

Para facilitar a compreensão da estrutura e desenvolvimento do experimento formativo, vejamos a seguir a decomposição – para fins didáticos - do mesmo em seus momentos no Quadro 1. Dizemos didático, por que o mesmo não aconteceu nesses momentos estanques e delineados, foram a todo tempo sustentados pela premissa do movimento, onde tudo “é causado por elementos contraditórios coexistindo numa totalidade estruturada” (GADOTTI, 1995. p. 27).

O experimento formativo foi organizado e desenvolvido segundo os pressupostos materialistas histórico dialéticos, portanto, “o fenômeno ou coisa estudada deverá apresentar-se ao leitor de tal forma que ele o apreenda em sua totalidade. Para isso são necessárias aproximações sucessivas e cada vez mais abrangentes. Isso o tornara acessível” (GADOTTI, 1995. p. 31). Somente assim, poderemos detectar todos os aspectos das coisas, incluindo os aspectos da omnilateralidade, fenômeno no qual o homem não desenvolve potencialidades humanas inatas, mas as crias, ele próprio, como produto e produtor das várias determinações sociais. Nesse intuito, faremos uso de uma estrutura de análise que gradativamente irá apreender o movimento de compreensão das operações de adição e subtração e de suas interconexas relações com o sistema de numeração no próprio devir do experimento e, de acordo com as peculiaridades de cada momento que será evidenciado em nossa unidade de análise, seu episódio, suas cenas e inúmeros flashes que veremos a seguir.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: apropriação das operações de adição e subtração a partir da compreensão do sistema de numeração

Como destaca Araújo (2003, p. 5), o “método de exposição só é possível depois de um longo percurso de investigação, que exige trabalho analítico rigoroso”. Além disso, em coerência com o método dialético, a exposição não se limita à simples descrição, mas contempla a explicação. Trata-se da análise explicativa em detrimento da descritiva (VIGOTSKI, 2000). Como “resultado da análise explicativa, alcança-se a verdadeira concreticidade do fenômeno, atinge-se o concreto pensado” [...] (PASQUALINI, 2010, p. 24). Neste sentido, Davydov (1988, p. 173) diz: “a exposição do conhecimento científico realiza-se pelo procedimento de ascensão do abstrato ao concreto, em que se utilizam as abstrações e generalizações substanciais e os conceitos teóricos”.

Nesse caminho, definimos a partir dos dados coletados na forma de gravação audiovisual de todo o experimento formativo realizado com as professoras em formação, uma unidade que seria, conforme Vigotski (2001, p. 19), “[...] uma parte viva e indivisível da totalidade”. Dessa unidade selecionamos um episódio de ensino, que pode ser entendido como ações reveladoras do processo de formação, tanto em relação à natureza, quanto à qualidade (MOURA et al., 2010).

De tal modo, para melhor compreensão do fenômeno que ali se constituía, dividimos o episódio de ensino em duas cenas (acreditamos que somente uma cena não seria suficiente para evidenciar o movimento de apropriação formativa das licenciandas) às quais se compuseram, na visão de Cedro (2008), em momentos nos quais os sujeitos confirmam indicativos de apropriação do movimento formativo instituído. Dessas cenas destacamos os flashes, que seriam “os indícios da transformação do pensamento do sujeito” (SILVA; CEDRO, 2015, p. 61). Os flashes encontrados nas cenas, não seriam somente uma mera definição dos sinais, mas sim uma tentativa de encontrar na sua trama não somente a existência, mas também a natureza do processo de significação dos sujeitos envolvidos. Nesse movimento processual de expor o desenvolvimento e entendimento do fenômeno, vejamos abaixo como nossa análise se estruturou.

Nessa unidade de análise, buscamos o entendimento pelas professoras em formação de que o aceite da estrutura geral do sistema de numeração decimal, isto é, a sua generalização, acarreta na sua compreensão como caso particular de qualquer sistema numérico, conduzindo assim à possibilidade de ação arbitrária nesse e em qualquer sistema. “O critério de tomada de consciência reside na possibilidade de passagem para qualquer outro sistema, pois isto significa generalização do sistema decimal, formação de um conceito geral sobre os sistemas de cálculo” (VIGOTSKI, 2000, p. 373).

Com o episódio selecionado, buscamos indicativos de superação das condições pré-existentes de entendimento para as operações de adição e subtração a partir do desenvolvimento de atividades de ensino de acordo com nossa proposta teórica. Tais atividades procuravam o ensino da operacionalização do sistema de numeração, na especificidade dos conceitos de adição e subtração. Tais atividades foram previamente selecionadas para que representassem o movimento conceitual da operacionalização do sistema de numeração.

As duas cenas escolhidas para esse episódio possuem como particularidade comum o fato de representarem ações coletivas que demonstram o caminho percorrido pelas professoras em formação. O intuito desvelado nesse processo é o entendimento, de que não seria possível apreender o conceito de adição e subtração sem a compreensão da lógica interna do sistema de numeração. Pois, segundo Moretti (1999, p. 27) “o entendimento do funcionamento dos sistemas de numeração é fundamental na compreensão dos algoritmos e mesmo na realização das operações básicas”. Na sequência expomos o desenrolar da primeira cena no Quadro 3.

Em consonância com nossas opções teóricas defendemos que o ensino do sistema de numeração decimal deve ser revelado a partir de diversos sistemas particulares, como o sistema ternário, quaternário ou quinário entre outros. Inicialmente, tal revelação deve ocorrer por meio de bases numéricas menores e de modo aleatório apresentar-se outras bases. Isso porque as bases menores possibilitam as devidas transformações de forma mais simples durante a ação objetal. Dessa forma, a introdução do sistema pode ser realizada “a partir do elo que inter-relaciona a lógica das diferentes bases numéricas, ou seja, a partir da formação das diferentes ordens de medidas, por meio dos agrupamentos” (SILVEIRA, 2012, p. 107). Vejamos os flashes que nos trazem os indícios dessa compreensão pelas professoras em formação: Mas enquanto não definimos que medida vamos usar não adianta nada só medir. Porque ai vai dar 3, 5, 8 mais 3, 5, 8 o que? (Flash 9 – Lilás); Mesmo quando contamos e arrumamos [...] de dois a dois, e de três a três, essas qualidades aí que vocês falaram estavam lá. Então eu acho que no Sistema Chacaloni tem as mesmas coisas (Flash 10 – Negra). Os flashes aqui trazidos nos permitem a “compreensão da gênese de ‘um’ sistema de numeração, isto é, qual é a essência desse sistema, as características que o compõe, já que os signos numéricos não podem ser tomados soltos; é preciso que estabeleça uma relação com os demais conceitos. “Nessa organização o objetivo é que o indivíduo compreenda os conceitos essenciais de um sistema de numeração” (ROSA; MORAES; CEDRO, 2010, p. 152).

Na mesma direção o movimento de compreensão tem sua continuidade: Já descobrimos que serve para contar e organizar essa contagem (Flash 7 – Vermelha); E mais também deve servir para medir o lugar [...](Flash 8 – Verdinha); Mas enquanto não definimos que medida vamos usar não adianta nada só medir [...] (Flash 9 – Lilás). As características substanciais/invariantes constituem o conteúdo do conceito. Os flashes nos indicam que o movimento das ações da pesquisadora nesse segundo momento do experimento formativo ia ao sentido de estabelecer o conteúdo do conceito de sistema de numeração. Ela desejava indicar os indícios substanciais imagináveis no mesmo, constituindo assim uma operação lógica que transcendesse o que já estava posto acerca de tal conceito. Isso se chama definição, isto é, a pesquisadora queria que as professoras em formação construíssem a definição do que seria e para que realmente serviria ‘um’ sistema de numeração e não ‘o’ sistema de numeração decimal vigente.

Os flashes nos mostram que para o caminho de criação de um conceito cientifico universal, é necessário separar, abstrair atributos próprios, dos fenômenos singulares e deixar só as características comuns a toda essa classe de fenômenos. Nos flashes temos a compreensão por parte delas de que, neste procedimento de generalização, o geral se contrapõe ao singular, e, aos vários fenômenos singulares.

Entretanto, a realidade vivenciada, durante o experimento formativo, não é o que comumente temos nas salas de aula das séries iniciais. Branca destaca sobremaneira essa questão: Eu já percebi. Já entendi. Deve ser isso que ela quer que enxerguemos, que essas estruturas internas servem para todos, por isso não começamos com o sistema decimal como fazem com todas as crianças das séries que iremos dar aula (Flash 11 – Branca). “A criança aprende a atuar no plano do sistema decimal antes de tomar consciência dele, porque ela não domina o sistema, mas é tolhida por ele” (VIGOTSKI, 2000, p. 373). Em consonância com a discussão levantada pelas licenciandas de que as crianças nas séries iniciais não vivenciam essa forma de organização do ensino do sistema de numeração vigente, mas ao contrario, convivem com um movimento de ensino de conceitos matemáticos que consiste na passagem do sensorial ao abstrato, temos o flash da Amarela: Na verdade aprendemos assim e hoje ensinamos a elas do mesmo jeito: como se o sistema de numeração decimal fosse único, o modelo, e dele partem os outros. Outros não, porque vamos ser sinceras nem sabíamos que existia outros, que o nosso é só um caso particular de montes que já existiram e muito menos ainda que ele é algo menor, um modelo menor, que existe acima dele uma lógica bem maior que organiza ele e todos os outros (Flash 12 – Amarela). Amarela se refere às generalizações empíricas nas quais os estudantes “seguem o esquema de baixo para cima e frequentemente não garantem o movimento de cima para baixo, a passagem do geral para o particular” (DAVÝDOV, 1982, p. 29). Esse processo de generalização, característico do ensino tradicional, está relacionado com a percepção, a representação e o conceito. Assim, a generalização empírica ocorre no plano da percepção direta, das representações em nível de conceitos empíricos (DAVÝDOV, 1982).

Como se percebe, as professoras em formação procuram não mais por uma organização qualquer do ensino do sistema de numeração e das operações de adição e subtração, querem uma Matemática que não seja concebida como uma ciência neutra, reduzida a um conjunto de técnicas, regras e algoritmos, onde o aluno deve realizar uma série de exercícios conforme o modelo sugerido. Espaço em que a ênfase incide no fazer em detrimento de outros aspectos importantes, como compreender, refletir, analisar, justificar e provar.

Essa busca se tornou ainda mais intensa e intencional no desenrolar do experimento formativo e tendeu a se emoldurar mais efetivamente na medida em que as licenciandas demonstraram apropriações das relações existentes entre a operacionalização do sistema de numeração decimal e as operações de adição e subtração. Na próxima cena percebe-se, por intermédios dos flashes, indícios dos momentos em que, elas diante da compreensão da interconexão da base numérica do sistema no processo de operacionalização das operações de adição e subtração vão se apropriando desses importantes conceitos numéricos que comumente são ensinados exclusivamente como uma sequência de regras que devem ser memorizadas e repetidas mecanicamente ao longo da vida.

Durante o experimento formativo as professoras em formação operacionalizaram o sistema de numeração na reta numérica e tiveram condições teórico-práticas de concluírem que os sistemas de numeração podem ser compostos por várias bases numéricas, e que, estas são determinadas pela quantidade que compõe cada agrupamento representado nas retas numéricas a elas ofertadas, que ora possuíam três, quatro, cinco ou dez unidades, sendo que cada novo agrupamento formava uma nova ordem. Fomos, então, criando condições para que as professoras em formação apreendessem a interconexão existente entre ‘qualquer’ base numérica de um sistema de numeração ‘qualquer’ e, o processo de operacionalização das operações de adição e subtração. Ou seja, no universal está implícito a riqueza do singular e do particular no sentido de que, “apreendendo as leis, ele está refletindo, nessa ou naquela medida, todos os casos particulares de manifestação do singular. Sem compreender a dialética do universal e do singular nas categorias, é impossível descobrir a essência e a relação destas com os conceitos” (KOPNIN, 1978, p. 108). Vejamos os flashes que corroboram com a discussão aqui levantada: O que fazemos no nosso sistema funciona nos outros também, mas o nosso é somente um tipo de sistema (Flash 14 – Verde); É sim, porque na verdade existe um modelo geral, que funciona para todos (Flash 15 – Pink).

No intuito de que as licenciandas entendessem a operacionalização do sistema de numeração decimal e sua conexão com as especificidades das operações de adição e subtração conduzimo-las intencionalmente a procedimentos que tivessem como resultado o processo de medição de grandezas discretas e\ou contínuas representadas aritmeticamente, algebricamente ou geometricamente: Calma. Lembram que primeiro medimos as grandezas? Por isso tinha coisas diferentes para medir nas atividades. Umas das atividades tinha como resposta números inteiros, outras não. Tem tipos de grandezas, a professora explicou nas aulas. E também vários tipos de representá-las. Então, agora estamos representados na reta numérica e então agora vamos somar e subtrair essas grandezas aqui na reta agora (Flash 7 – Roxa). Nesse viés o universal novamente se faz presente e, “como essência aparece na forma de lei” (DAVÍDOV, 1988, p. 147): E o nosso é só um desses, mas que obedece a essa maneira única de organizar os sistemas, como se tivesse uma lei maior e comum que serve para todos (Flash 16 – Azulona). A licencianda dá sinais de compreender da existência de uma unidade de nexos e relações essenciais, expressas por meio do modelo da relação geneticamente inicial de todo o sistema.

Ainda no desenrolar da apresentação das atividades de ensino que elas desenvolviam com toda a sala e que fazia parte do terceiro momento do experimento formativo, temos sinais de que elas estão partindo do pressuposto que a unidade entre o lógico e o histórico e a conexão dialética entre o universal-singular determinam, juntamente com outros aspectos, o movimento conceitual que na verdade deveria ser desenvolvido nas aulas de Matemática das séries iniciais. Os próximos flashes mostram essa compreensão por parte das professoras em formação: Jamais imaginei que para compreender o sistema de numeração que usamos hoje precisava na verdade entender outros sistemas e como as necessidades dos que inventaram também (Flash 22 – Branca).

O foco é iniciar as ideias da adição e da subtração com quantidades razoavelmente pequenas, tendo como ponto de partida o experimento objetal referente às grandezas discretas e contínuas (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013) para que dessa forma o aluno tenha condições teórico-práticas de ‘enxergar’ as relações entre o sistema de numeração e as operações que realiza, no mesmo movimento de compreensão que se encontra denotado nos flashes das professoras em formação: Mas o sistema que usamos é o decimal. Vejam sua reta numérica. Nele os intervalos valem dez (Flash 10 – Marron); Por isso, agrupamos de dez em dez, subimos ‘um’ que não é um é dez ao somar, e retiramos ‘um’ ao subtrair e ele se transforma em dez (Flash 11 – Verdinha).

No decorrer da cena é visível que as atividades planejadas para que as licenciandas desenvolvessem em sala com todas as demais, eram atividades referentes à operacionalização do sistema de numeração que não mais contemplassem somente a ação objetal. Por conseguinte, “compreende a transformação em nova qualidade” (KOPNIN, 1978, p. 209). Em razão disso, a formação de novos conceitos – adição e subtração - ocorre a partir “da separação da relação fundamento e o estudo de suas propriedades à identificação das possíveis consequências [...]” (DAVYDOV, 1988, p. 211).

Fica percebível que a cena se desenrola no objetivo de estabelecer que a relação fundamental das operações da adição e subtração consiste no contínuo desenvolvimento da relação essencial do sistema de numeração. Nesse sentido, a relação parte-todo - adição e subtração - e a formação das diferentes ordens constituem a essência do algoritmo das operações aqui destacadas. Assim sendo e conforme anunciado, inicialmente, as operações foram desenvolvidas na reta numérica. Ao propor, que nesse dia, as professoras em formação fizessem e depois explicassem na lousa atividades, que envolvessem a reta numérica, o entendimento que estava implícito era que a reta numérica representava o lugar geométrico dos infinitos números reais. Por conseguinte, a reta possibilita a introdução da inter-relação entre as operações de adição e subtração na forma de acréscimo e decréscimo de unidades. Por meio de deslocamentos para a direita e para a esquerda, como as licenciandas fizeram no decorrer das atividades.

Os esquemas e o registro dos números na reta são, também, o concreto ponto de chegada das atividades referentes ao sistema de numeração. Deste modo, os esquemas das ordens - e suas mudanças - e a reta consistem no ponto de chegada do entendimento do sistema de numeração, e ponto de partida para as operações de adição e subtração. No caminho de ascensão se determinam as transformações dos conceitos, ou seja, “os conceitos abstratos se tornam concretos e os concretos se transformam em abstratos” (ILIENKOV, 2006, p. 175). O conceito de adição e subtração formado no curso da reprodução do sistema de numeração é concreto em relação ao anterior. Portanto, se “o concreto é a unidade de múltiplos fenômenos, é natural que, ao conhecer a multiplicidade das propriedades das coisas, os próprios conceitos relacionados a eles se tornarão mais concretos” (ROSENTAL, 1962, p. 326). Nesse caminho vemos que no decorrer de nossa análise as ideias de adição e subtração vão se fazendo parte da constituição do próprio sistema de numeração para as professoras em formação.

Considerações Finais

Conforme constatado durante o experimento, a teoria do ensino desenvolvimental, formulada por Vasili V. Davydov, que tem como cerne central para o ensino escolar, o desenvolvimento integral dos alunos por meio dos conteúdos, oferece possibilidades reais de organização dos conteúdos matemáticos, cujo foco é a formação do pensamento teórico dos alunos.

A partir da organização dos conteúdos, segundo os pressupostos da referida teoria, constatou-se que as alunas do curso de Pedagogia conseguiram internalizar os conceitos matemáticos trabalhados. Conforme orienta Davydov (1998), para que os alunos internalizem os conceitos matemáticos, é necessário que o ensino siga a direção do geral para o particular, ou seja, primeiramente os alunos devem apropriar o conceito do objeto, para depois lidar com estes em situações particulares, nos diversos contextos. Assim, observou-se durante o experimento, que o entendimento do funcionamento interno dos sistemas de numeração, foi fundamental para a internalização dos processos que envolvem as operações de adição e subtração.

Em resumo, na perspectiva da teoria do Ensino Desenvolvimental se o aluno for orientado a pensar teoricamente, além do domínio de novos conteúdos, ele assimilará as ferramentas mentais que lhe permitam pensar e desenvolver com autonomia o conhecimento. Conforme o próprio Davydov (1988) os métodos de ensino decorrem do conteúdo e o conteúdo é o próprio conhecimento teórico.

Referências

ARAÚJO, L. B. C. A Questão do Método em Marx e Lukács: o desafio da reprodução ideal de um processo real. In: MENEZES, A. M.; FIGUEIREDO, F. F. (Org.). Trabalho, Sociabilidade e Educação. Uma crítica à ordem do Capital. ed. Fortaleza-CE: UFC, 2003, p. 13-396.

CEDRO, W. L. O motivo e a atividade de aprendizagem do professor de matemática: uma perspectiva histórico-cultural. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2008.

DAVYDOV, V. V. Análisis de los principios didácticos de la escuela tradicional y posibles principios de enseñanza en el futuro próximo. In: ______. La psicologia evolutiva y pedagógica em la URSS. Moscú, Progresso. 1987, p. 143-155.

_____________. Problems of developmental teaching – The experience of theoretical and experimental psychological research. Soviet Education. Revista Soviet Education. 1988.

_____________. Tipos de generalización en la enseñanza. 3ª. ed. Habana: Pueblo y Educación, 1982.

_____________; MARKOVA, A. K. La concepción de la actividad de estudio en los escolares. In: SHUARE, M. La psicologia evolutiva em La URSS: Antologia. Móscu: Editorial Progreso, 1987.

GADOTTI, M. Concepção Dialética da Educação: um estudo introdutório. 9ªed. São Paulo: Cortez, 1995.

ILIENKOV, E. V. La ascensión de lo abstracto a lo concreto en principios de la lógica dialéctica. In: JIMÉNEZ, A. T. Teoría de la construcción del objeto de estudio. México: Instituto Politécnico Nacional, 2006.

KOPNIN, P. V. A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 1978.

KOSIK, K. Dialética do concreto. Trad. Célia Neves e Alderico Toríbio. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1995.

MADEIRA, S. C. “Prática”: Uma leitura Histórico-Crítica e proposições davydovianas para o conceito de multiplicação. 2012. 165 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma, 2012.

MORETTI, M. T. Dos sistemas de numeração às operações básicas com números naturais. Florianópolis: UFSC, 1999.

MOURA, M. et al. A Atividade Orientadora de Ensino Como Unidade Entre Ensino e Aprendizagem. In: MOURA, M. (Org.) A atividade pedagógica na teoria histórico-cultural. Brasília, DF: Liber Livro, 2010.

PANOSSIAN, M. L. O movimento histórico e lógico dos conceitos algébricos com princípio para constituição do objeto de ensino da álgebra. (Tese Doutorado em Educação) - Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014.

PASQUALINI. J. C. Princípios para a organização do ensino na educação infantil na perspectiva Histórico-Cultural: um estudo a partir da análise da prática do professor. Tese (Doutorado em Educação Escolar) - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Araraquara, 2010.

ROSA, J. E.; DAMAZIO, A.; ALVES, E. S. B. Adição e subtração em Davydov. Boletim GEPEM / Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, Rio de Janeiro, n. 63, p. 61-75, jul./dez. 2013.

ROSA, J. E.; DAMAZIO, A.; SILVEIRA, G. M. O Sistema de Numeração nas Tarefas Propostas por Davydov e seus Colaboradores para o Ensino de Matemática. Boletim de Educação Matemática – BOLEMA, São Paulo, v. 28, n. 50, p. 1135-1154, dez. 2014.

ROSENTAL, M. M. Principios de lógica dialectica. Tradução: Augusto Vidal Roget. Ediciones Pueblos Unidos. Montevideo, Uruguai, 1962.

SILVEIRA, G. M. Proposições para o ensino do sistema de numeração em Davýdov. Monografia (Especialização em Educação Matemática) - Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma, 2012.

VIGOTSKI, L. S. A Formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes, 2000.

__________. Obras Escogidas II: historia del desarrollo de las funciones psíquicas superiores. Espanha: Visor, 2003.